【泛函分析】 可分性
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前言

在泛函分析中,我们的大致思路是,对一个空间赋予更多结构。在上一篇文章紧性中,对紧性这个概念进行了解释,紧性是给空间赋予了一个有限的结构。可分(separable)也是泛函分析中一个十分重要的结构,那么它对空间进行了什么限制呢?

可分性的引入

在这里,先说结论,可分是对空间“大小”的“限制”

先从最熟悉的说起,在线性代数中,我们知道,在一个n维空间中,均存在一组基,使得空间中的每个元素都可以表示这组基的线性组合。那么,在一个无穷维空间中,能够将空间中的元素也类似的表示成一组基的线性组合呢?显然是不一定的。然后教材中,引入了Schauder基的概念,可以将空间中的元素$x$表示成如下线性组合的形式:

$$
x=\sum_{n=1}^\infty a_nx_n
$$

当然,并不一定所有的无穷维空间中都有Schauder基。我们希望我们研究的空间中,存在这样的形式,便于我们研究问题。那么自然而然就有一个问题,什么样的空间存在Schauder基或者其他的基?

观察这个形式,我们可以发现,基的个数是可数多个。对于无穷多个元素,我们希望这些元素是可数多个的,因为可数个元素可以用自然数一一表示出来,即可以表示成$x_n$的形式。而这就说明这个空间需要个一个可数集合“差不多大”。什么是“差不多大”呢,简单来说,就是两个集合之间只差一些“离散点”,这些“离散点”相对于集合中的无穷多个点来说是可以忽略的。而这个指的就是稠密。我们来看稠密的定义:A在X中稠密当且仅当X中唯一包含A的闭集是X自己。换句话说,X中的任一点都可以被A中的点很好的逼近。可以看出,这个就是我们上面说的“差不多大”。

那么自然而然就引出了可分。和一个可数集合“差不多大”,就是可数+稠密。那么我们就知道当X有一个可数的稠密的子集时,那就是可分的。

因此,有了可分性,我们在研究问题时,就只需要考虑可数多个,而不需要研究特别多个。值得注意的是,可数多个虽然也可能是无穷多个,但是可数能够用自然数表示,即可以表示为$a_n$的形式,很方便我们研究问题,而当数据为不可数个,那么表示起来就很困难,相当于“超出了我们的掌控”。因此,这就是为什么可分是对空间“大小”的“限制”。

参考资料

https://www.cnblogs.com/xtan/archive/2011/07/25/2115849.html

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