【电磁场】梯度、散度与旋度
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前言(题外话)

最近准备补一下本科没好好学的《电磁场与电磁波》,于是找到了马西奎老师的课程视频。看到这个视频之后,有些后悔没有早点看到马老师的课程。并且,在看的过程中,我还有些一些其他的想法。我对这种全板书的课程有着独特的喜爱,现在真的很难看到全板书的课了,甚至有些数学课都要用 ppt。板书真的能够反映出一名老师的教学水平,对课程内容的逻辑结构是否清晰,完全能够反映在板书上。ppt 在一定程度上,可以让一些老师可以不需要认真备课,上课只需要“念”ppt 就可以了。另外,看了这门课更能感受到,能否讲好这门课的绪论,也能在一定程度上反映出教学水平,马老师讲的绪论,从发展历程,到 Maxwell 方程的引入,再到他是如何根据方程预言电磁波的,再到更深层次的讲述电磁波的相关知识,最终说明研究电磁场问题的基本方法。

学过电磁波的同学应该知道,这门课的内容十分多,我在之前学习的时候,就忽略了这门课的重点,经过老师的提醒,解决问题的核心就是把握好“源”和“场”,我都有种顿悟的感觉。

并且,这门课也解答了我多年来对散度和旋度的疑问,在此记录下来。

马西奎老师《电磁场与电磁波》视频链接: https://www.bilibili.com/video/BV1iW411X73K?p=1。 如果你也恰好在学这门课,我也可以给你分享一下我的笔记,需要的话可以在下面留言。

另外,看到弹幕给老师起的一个称号“西北电磁王”,就很想笑 hhhh。

数量场的梯度

介绍梯度前,一定要搞清楚它的对象是谁。梯度的计算是对数量场而言的,也就是物理量是标量。数量场有着一个个的等值线(面)。

方向导数

为了引入梯度,我们首先引入方向导数。在数量场中,我们希望知道,每一个点沿着某一个方向,它的值会如何变化。这个衡量变化率的量就是方向导数。如下图所示。

在上图中,有两个点,分别为 M 和 P 点。那边他们的变化率,我们可以用图中右边的式子来表示。根据全微分的知识,右边可以继续化简,直到得到最后的式子。

梯度

沿着不同方向的方向导数往往是不同的,也就是一个点往不同方向的变化率往往是不同的,那么就有一个问题,往哪个方向变化最快呢?

我们令:

$$
\begin{array}{l}
\frac{\partial u}{\partial l}=\vec{G} \cdot \vec{l} \\
\vec{G}=\frac{\partial u}{\partial x} \overrightarrow{e_{x}}+\frac{\partial y}{\partial y} \vec{e_{y}}+\frac{\partial u}{\partial z} \overrightarrow{e_{z}}
\end{array}
$$

可以看到,$\mathbf{G}$ 是一个与方向无关的量,显然,根据内积的定义,当 $\mathbf{G}$ 和 $\mathbf{l}$ 的方向一致时,结果最大。此时,结果为 $\mathbf{G}$ 的大小。可以发现,$\mathbf{G}$ 的方向表示变化速率最大的方向,$\mathbf{G}$ 的大小表示最大的变化率,因此,称 $\mathbf{G}$ 为梯度。

$$
grad\ u=\mathbf{G}=\frac{\partial u}{\partial x}\mathbf{e_x}+\frac{\partial u}{\partial y}\mathbf{e_y}+\frac{\partial u}{\partial z}\mathbf{e_z}
$$

对于等值面而言,其切线方向的方向导数为 0,故其法线方向为梯度方向。

为了更好的表示梯度,引入哈密顿算子(Nabla 算子),在直角坐标系表示如下:

$$
\nabla=\frac{\partial }{\partial x}\mathbf{e_x}+\frac{\partial }{\partial y}\mathbf{e_y}+\frac{\partial }{\partial z}\mathbf{e_z}
$$

因此可以得到梯度表达式:

$$
grad\ u=\nabla u
$$

有关 nabla 算子,在文章的最后,有介绍。

向量场的散度

通量

首先引入通量的概念。

在一个向量场中,选定一个面,我们希望知道通过这个面的量有多少。定义通量为:

$$
\Phi=\int_{S}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{S}
$$

通过这个定义,我们知道,如果 $\Phi>0$,则说明曲面内存在正源,反之,存在负源。当然,这里的正负源是指净正负源,也就是曲面内所有的源的和。因此,通量是一个宏观概念,描述的是一个整体,我们只能根据通量知道曲面内的总共的源有多少,而不能知道每一点具体有多少。

那么如果想知道某个点是否有源呢?可以想到,当我们将曲面设置的无穷小时,如果此时仍然存在通量,那么就说明该点存在源。这个极限便是散度。

散度

定义:

$$
div\ \mathbf{A}=\lim_{\Delta V\rightarrow 0}\frac{\oint_{S}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{S}}{\Delta V}
$$

因此,散度反映了某一点邻域内源分布的情况

当散度大于 0 时,说明该点有矢量线的发出;

当散度小于 0 时,说明该点有矢量线的终止;

当散度等于 0 时,说明矢量线直接平滑穿过该点。

同样的,可以用 Nabla 算子表示成:

$$
div\ \mathbf{A}=\nabla\cdot \mathbf{A}
$$

散度是标量。

根据上述分析,我们选定一个闭合曲面,通过这个面的通量,反映了该曲面的内部的源情况,其实就等于该面围成的体中的所有点的散度之和。这个便是高斯公式,也就是面积分等于散度的体积分,如下:

$$
\iiint_{\Omega} \operatorname{div} \mathbf{F} d v=\oint_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} d S
$$

矢量场的旋度

环量

定义环量如下:

$$
Q=\oint_{l}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{l}
$$

其中,$l$ 为选择的一个有向曲线,它的法线方向符合右手螺旋法则。可以看到,环量描述了沿着这条曲线的漩涡情况。积分项里的内积,发挥作用的是 $\mathbf{A}$ 的切向分量。我们知道,一个物体作圆周运动,受到的力是沿着切向方向的,因此,环量就是描述了物理量的旋转情况。

旋度

同样的,这是一个整体概念,和散度一样,我们将选择的曲线围成的曲面面积足够小,即:

$$
q=\lim_{\Delta S\rightarrow 0}\frac{\oint_{l}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{l}}{\Delta S}=(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z})cos\alpha+
(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x})cos\beta+
(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y})cos\gamma
$$

推导过程省略。

$$
\mathbf{n}=cos\alpha\mathbf{e_x}+cos\beta\mathbf{e_y}+cos\gamma\mathbf{e_z}
$$

$$
\mathbf{V}=(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z})\mathbf{e_x}+
(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x})\mathbf{e_y}+
(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y})\mathbf{e_z}
$$

可以得到,$q=\mathbf{V}\cdot \mathbf{n}$。这里,就和梯度很像了。当方向一致时,$q$ 最大,此时 $\mathbf{n}$ 为积分环路的法线方向。

因此,$\mathbf{V}$ 既包含了最大环量信息,也包含了环路的法向方向信息,即最大环量对应的积分环路的法线方向。称其为旋度。令:

$$
rot\ \mathbf{A}=(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z})\mathbf{e_x}+
(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x})\mathbf{e_y}+
(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y})\mathbf{e_z}
$$

用 Nabla 算子表示为:

$$
rot\ \mathbf{A}=\nabla\times \mathbf{A}
$$

散度和旋度的直观理解

上面是散度和旋度的一些理论,那么散度和旋度有什么用呢?

有一个定理叫亥姆霍兹定理,该定理阐述了如何确定一个场 $\mathbf{A}$。定理给出,如果要确定某一个区域的 $\mathbf{A}$,充要条件为:

知道以下三个条件:

  1. 散度
  2. 旋度
  3. 边界值

也就是说,如果知道了一个物理量在某个区域的散度、旋度和边界值,那么这个场就确定了。这对于我们确定一个场十分有用,将其转化成了三个小问题上。这也体现出了散度和旋度的重要性。

这个定理也可以这么说,一个矢量场可以表示为一个无旋的散度场和一个无散的旋度场的叠加。那么为什么散度+旋度就可以确定呢?以下提供一个比较直观的理解。

散度,从名字中可以看出,描述的发散的程度。先看上面的绿线,表现出了从中心往外发散,这与该物理量在曲面的法线方向上的分量有关。例如,在无限大真空中的一个点电荷,它的电场就是以它为中心,向外发散,可以想到,这个场是完全发散的。

而对于旋度,描述的是旋转。促使旋转产生的力,便是切线方向上的分量。因此,旋度是由该物理量在曲线的切线方向上的分量所决定的。如上图的红线所示。可以法线,对于上图中,如果场是红线所示的情况,那么这里便没有发散,只有旋转。

在高中物理中,我们知道,描述一个力,我们可以将其分解为垂直方向和水平方向,只需要知道这两个方向的分力,就可以知道这个力。同理,散度描述了垂直方向上的分量,旋度描述了水平方向上的分量,结合在一起,便可以知道一个场的整体情况。

一些重要公式

在电磁场的学习中,需要用到上述的一些公式。有关这些公式,下文有一部分内容的证明,感兴趣的可以往下看一看。如果理解了上面所说的散度和旋度的含义,有些公式可以很容易理解。比如第四个公式,对于等值面,梯度方向为法线方向,因此梯度的旋度为 0. 对于第五个公式,旋度由切线方向分量所决定,切向方向的分量的散度当然为 0.

四元数

有关哈密顿算子,我们可以利用四元数来引入,并且能够看到很多有趣的内容。

从小学到大学,我们逐渐学习了整数、分数、有理数、实数、复数、向量,逐渐在扩充描述事物的量。从实数到复数,我们可以看作是一个领域内的扩展,也就是标量的扩展,这种扩展是很自然的。有关向量,我们知道是在标量的基础上,多了一个方向。那么,有没有办法把标量和向量放在一个系统中讨论呢?我们可以从实数开始,一步步的对其扩展,来看看有没有什么神奇的事情发生。

对于实数,我们记作 $a$,我们都知道将其扩展为复数,可以表示为 $a+bi$。在这里,引入了 $i$,其满足 $i^2=-1$。当引入了一个特殊的数之后,数域得到了扩充。那么能不能再引入一个数,对其进行进一步扩充呢?在这里,我们可以尝试一下,引入 $j$,表示为 $a+bi+cj$,暂且称为三元数吧。光引入不行,还需要满足一些性质,比如说,两个数相乘,应该仍然为三元数。我们可以试一下:

$$
\begin{aligned}
&(a_1+b_1i+c_1j)(a_2+b_2i+c_2j)\\
&=a_1a_2+(a_1b_2+b_1a_2)i+(a_1c_2+c_1a_2)j+b_1b_2i^2+c_1c_2j^2+(b_1c_2+c_1b_2)ij
\end{aligned}
$$

可以看到,相比于 $a+bi+cj$ 的形式,多了两项,分别是 $j^2$ 和 $ij$。我们可以令 $j^2=-1$,那么仍然还是会多一项 $ij$,这个并没有办法处理掉。为了解决这个问题,哈密顿提出了四元数,也就是再引入一个 $k$,来解决这个问题,我们继续往下看。

仿照上面的形式,四元数可以表示为 $a+bi+cj+dk$,再进行乘法,可以得到:

$$
\begin{aligned}
(a_1+b_1i+c_1j+d_1k)&(a_2+b_2i+c_2j+d_2k)=a_1a_2+b_1b_2i^2+c_1c_2j^2+d_1d_{2}k^2\\
&+(a_1b_2+a_2b_1)i+(a_1c_2+a_2c_1)j+(a_1d_2+a_2d_{1})k\\
&+(b_1c_2+b_2c_1)ij+(b_2d_1+b_1d_2)ik+(c_2d_1+c_1d_2)jk
\end{aligned}
$$

为了使结果满足 $a+bi+cj+dk$ 的格式,我们可以令 $j^2=-1,k^2=-1$,这样只剩下 $ij,ik,jk$。而这时,我们可以令 $ijk=-1$,这样在等式两边同时左乘 $i$,就可以得到 $jk=i$,同样的,我们可以得到:

$$
ij=k,jk=i,ki=j
$$

先看 $ki=j$,两边同时右乘 $i$,可以得到 $ji=-k$,可以发现这并不符合乘法的交换律。详细关系如下:

$$
ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j
$$

这样,就会出现一件神奇的事情,那就是这个结果正好也是四元数。我们再看这个数,前面的 $a$,就是实数,也可以看作是标量,而后面这一项 $bi+cj+dk$,正好是向量。也就是说,通过四元数,就将标量和向量统一了。并且,根据上面的分析,四元数并不符合乘法的交换律,因此,四元数可以看作是复数的不可交换延伸。

那么我们将四元数 $A$ 表示为 $A=a_0+\mathbf{a}$ ,接下来我们来看乘法 $AB$,将上面的那么多项合并一下,可以得到如下的结果:

$$
a_0b_0-(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)+a_0(b_1i+b_2j+b_3k)+b_0(a_1i+a_2j+a_3k)+(a_2b_3-a_3b_2)i+(a_3b_1-a_1b_3)j+(a_1b_2-a_2b_1)k
$$

可以看到,上面的等式很有意思。令:

$$
\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3
$$

$$
a_0\mathbf{b}=a_0(b_1i+b_2j+b_3k)
$$

$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b}=(a_2b_3-a_3b_2)i+(a_3b_1-a_1b_3)j+(a_1b_2-a_2b_1)k
$$

上面分别为向量的内积、向量的数乘以及向量的外积。可以发现,内积结果为标量,外积结果为向量。

这样,四元数的乘法就可以写成如下的形式:

$$
AB=a_0b_0-\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+a_0\mathbf{b}+b_0\mathbf{a}+\mathbf{a}\times \mathbf{b}
$$

根据这个式子,我们还可以得到向量的乘法,也就是当 $a_0,b_0=0$ 时,可以得到:

$$
AB=-\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+\mathbf{a}\times \mathbf{b}
$$

这个公式是很重要的,后面会用到哦。

四元数就暂时介绍到这里了,从这个过程中,可以看到这是一个十分神奇的过程,由复数扩展到四元数,然后引入向量。然后根据四元数的乘法,引入了向量的内积和外积运算。

Nabla 算子

Nabla 算子的形式想必都知道了,如下:

$$
\nabla =\frac{\partial }{\partial x} \mathbf{i} +\frac{\partial }{\partial y} \mathbf{j}+\frac{\partial }{\partial z} \mathbf{k}
$$

可以发现,这就是四元数,因此我们可以得到:

$$
\nabla \nabla=-\nabla\cdot \nabla+\nabla\times \nabla
$$

根据公式,我们分别计算 nabla 算子的内积和外积:

$$
\nabla\cdot \nabla=\frac{\partial^2 }{\partial x^2} +\frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2 }{\partial z^2} =\nabla^2
$$

$\nabla^2$ 称为 Laplace 算子,这是一个标量。

$$
\nabla \times \nabla=\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}(\mathbf{i}\mathbf{j}+\mathbf{j}\mathbf{i})+\cdots
$$

这里就不写全了,根据 $ij=-ji$,可以得到:

$$
\nabla \times \nabla=0
$$

所以

$$
\nabla \nabla=-\nabla^2
$$

我们将这个 $\nabla \nabla$ 乘以一个标量 $\varphi$,可以得到:

$$
\nabla \nabla \varphi=-\nabla^{2}\varphi
$$

这是一个标量。而如果我们换一个角度计算这个式子,如下:

$$
\nabla \nabla \varphi=\nabla(\nabla \varphi)=-\nabla\cdot \nabla\varphi+\nabla\times\nabla\varphi
$$

可以看到第一项为标量,而第二项为向量。将这两种方法的结果比较,可以得到:

$$
\nabla\cdot \nabla\varphi=\nabla^{2}\varphi,\nabla\times \nabla\varphi=0
$$

这便是上面我们介绍的其中两个公式。

同样的方法,我们可以用两种方法计算两个 nabla 算子 $\nabla \nabla$ 乘以向量 $\mathbf{A}$,如下:

$$
\nabla \nabla \mathbf{A}=-\nabla^2\mathbf{A}
$$

这个结果为 Laplace 算子乘以向量,因为 Laplace 算子为标量,标量乘向量,结果仍然为向量,故这个结果为向量。

$$
\begin{aligned}
\nabla\nabla\mathbf{A}&=\nabla(-\nabla\cdot\mathbf{A}+\nabla\times\mathbf{A}) \\
&=\nabla(-\nabla \cdot \mathbf{A})+\nabla(\nabla\times \mathbf{A}) \\
\end{aligned}
$$

由于内积结果为标量,所以第一项为 Nabla 算子(向量)乘以一个标量,结果为向量。第二项为 Nabla 算子乘以向量,我们继续展开。

$$
\begin{aligned}
\nabla\nabla\mathbf{A}&=\nabla(-\nabla\cdot\mathbf{A}+\nabla\times\mathbf{A}) \\
&=\nabla(-\nabla \cdot \mathbf{A})+\nabla(\nabla\times \mathbf{A}) \\
&=-\nabla(\nabla\cdot \mathbf{A})-\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})+\nabla\times(\nabla\times \mathbf{A})
\end{aligned}
$$

仍然对比两个式子,可以得到:

$$
-\nabla^2\mathbf{A}=-\nabla(\nabla\cdot \mathbf{A})-\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})+\nabla\times(\nabla\times \mathbf{A})
$$

向量部分相等,可以得到:

$$
-\nabla^2\mathbf{A}=-\nabla(\nabla\cdot \mathbf{A})+\nabla\times(\nabla\times \mathbf{A})
$$

也就是:

$$
\nabla\times(\nabla\times \mathbf{A})=\nabla(\nabla\cdot \mathbf{A})-\nabla^2\mathbf{A}
$$

标量部分相等,可以得到:

$$
\nabla\cdot (\nabla \times \mathbf{A})=0
$$

这样就基本上得到了上面的几个重要公式。

总结一下,在这里介绍四元数,其实就是为了更好的利用 Nabla 算子进行运算。因为这个算子并不像是我们平时计算时的数,而将其视作四元数后,就可以将这个算子看作一个数,进行运算。它的运算一共有三种,乘法、内积和外积,而这分别对应着梯度、散度和旋度。在这个过程中,如果遇到 Nabla 算子与向量的乘法,那便利用公式,展开成内积和外积的形式。

参考资料

  1. https://www.bilibili.com/video/BV1iW411X73K
  2. https://www.zhihu.com/question/21912411
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评论

  1. 雪宝儿
    1 年前
    2023-4-08 22:22:41

    喜欢博主这期分享~!太有感触了,板书yyds
    总结很清晰的,最后也给出了自己探索的指导方向

    • 博主
      雪宝儿
      1 年前
      2023-4-09 23:47:21

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