【泛函分析】 紧集
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前言

在Terence Tao的一篇文章中,他对紧集进行了详细的解释,我在看完之后,受益匪浅。于是参考着这篇文章写出了这篇blog。

在泛函分析中,我们接触到了“紧性(compactness)”这一概念,并且这是一个十分重要的概念。并且,不同书中给出的紧集的定义可能会有所不同。那么为什么会引入紧集呢?这个名称又蕴含着什么含义呢?

从有限集走向紧集

说到紧集,就必须要提到有限集(finite set),即包含有限个元素的集合。在有限集中,拥有着许多好的性质,比如无论是什么函数,只要这个函数是映射到实数域上,作用在有限集上,其结果一定是有界的。其中,有四个很重要的性质,这四个性质就能够区别有限集和无穷集(infinite),如下:

  • (函数均有界) $f:X\rightarrow R$,$f$一定是有界的。
  • (函数均能取到最大值) $f:X\rightarrow R$,存在一个点$x_0\in X$,使得对$\forall x\in X$,有$f(x_0)\ge f(x)$
  • (所有的序列有一个值相等的子列) 如果${x_n}_{n=1}^\infty \subset X$,那么存在$c\in X,{x_{n_i}}_{i=1}^\infty \subset {x_n}_{n=1}^\infty$,使得$x_{n_1}=x_{n_2}=\cdots=c$。
  • All covers have finite subcovers

对于第一个性质,这引入了一个很关键的观点,那就是local-to-global principle,即从局部到整体。对于一个函数,在集合的每一个点处,均会取得一个确定的值,也就是说,对于当前的点来说,是有界的,这个界是与自变量$x$有关,这就是local。那么每一个地方均有界,能不能推出所有点都有一个共同的界呢?对于有限集来说,根据第一个性质,当然是可以的,这就是从local到global,这是一个十分好的性质。

而这也体现在第四个性质上。对于有限集,因为局部满足一些性质,而任何一部分都可以由有限个局部组成,那么当然更大的那一部分也满足对应的一些性质,这就是local到global。其实,这个性质更能够体现出有限的特点。

那么为什么花了这么多篇幅来讲很简单的有限集呢?请继续往下看。

显然,对于无穷集,上述性质不一定成立。那么有没有办法,加上一些条件,让这些性质成立。于是,就有了"almost finite"想法的提出,即几乎有限,或者称之为pro-finite。这个几乎有限就是紧性。因此,紧性的提出,是为了推广这些有限集的性质,将其应用在无穷集上,换句话说,正如E.OK所说的那样:The power of compactness is:  providing a finite structure for infinite sets,紧性就是给无穷集提供了有限的结构,让我们可以像看待有限集一样看待它。

那么,当我们把有限集扩展成紧集,则需要对上面的性质加上一些条件,才会成立。其条件就是连续性、收敛性和开覆盖。

  • 连续函数均有界
  • 连续函数均能取到最大值
  • 所有的序列都有收敛的子列
  • All open covers have finite subcovers

而这些性质恰好是我们在教科书上看到的紧集的定义和性质。OK,其中写了这么多,核心就是,紧集是有限集的推广,紧就是"almost finite",而这种推广在泛函分析中十分常见,比如可分是"almost countable"。在有限维空间中,紧集和有界闭集是等价的。

紧性的其他理解角度

我们还可以从其他角度来看待Compactness。比如:

  1. Tom Boardman: 在一个度量空间中,你若要从一点A移动到B,最坏的情况是遍历整个空间,在每个遍历的位置中心放一个开集,这样你实际上用无穷个开集构造了一个开覆盖。但若X是紧空间,这件费力的事决不会发生,你总可走有限步即可到达目标,这就很棒,所以,Compact实际上表示这个空间很小,可以掌控,因为这空间中任意两点总可在有限步内到达,所以我们喜欢它。
  2. Charles Matthews: non-compact的意思是可以“走向无穷”,比如在一条直线上任何一点出发,你向右或向左都可走向无穷,这样的集合就不是compact的,所谓compact就是想各种办法来“套住”你,让你不能走向无穷,比如把这条线绕成一个圈。从这个意义上,有限个开集cover整个X,或收敛的子序列,都是施加这种约束,即不让你走向无穷的手段。为什么你不想走向无穷?想像一个不紧集上的连续函数,由于你可以在定义域上走向无穷,该函数可能unbounded,或者即使bound,也没有最大或最小值,这是我们不希望的。

结语

说了这么多,其实关键就是“有限”,理解了这个,就理解了紧性。紧性也不只可以描述集合,还可以描述算子等,都是围绕着"almost finite".

参考资料

  1. Terence Tao, http://www.math.ucla.edu/~tao/preprints/compactness.pdf
  2. https://www.cnblogs.com/xtan/archive/2011/07/25/2115837.html
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