前言
在Terence Tao的一篇文章中，他对紧集进行了详细的解释，我在看完之后，受益匪浅。于是参考着这篇文章写出了这篇blog。
在泛函分析中，我们接触到了“紧性(compactness)”这一概念，并且这是一个十分重要的概念。并且，不同书中给出的紧集的定义可能会有所不同。那么为什么会引入紧集呢？这个名称又蕴含着什么含义呢？
从有限集走向紧集
说到紧集，就必须要提到有限集(finite set)，即包含有限个元素的集合。在有限集中，拥有着许多好的性质，比如无论是什么函数，只要这个函数是映射到实数域上，作用在有限集上，其结果一定是有界的。其中，有四个很重要的性质，这四个性质就能够区别有限集和无穷集(infinite)，如下：
- （函数均有界） $f:X\rightarrow R$，$f$一定是有界的。
- （函数均能取到最大值） $f:X\rightarrow R$，存在一个点$x_0\in X$，使得对$\forall x\in X$，有$f(x_0)\ge f(x)$
- （所有的序列有一个值相等的子列） 如果${x_n}_{n=1}^\infty \subset X$，那么存在$c\in X,{x_{n_i}}_{i=1}^\infty \subset {x_n}_{n=1}^\infty$，使得$x_{n_1}=x_{n_2}=\cdots=c$。
- All covers have finite subcovers
对于第一个性质，这引入了一个很关键的观点，那就是local-to-global principle，即从局部到整体。对于一个函数，在集合的每一个点处，均会取得一个确定的值，也就是说，对于当前的点来说，是有界的，这个界是与自变量$x$有关，这就是local。那么每一个地方均有界，能不能推出所有点都有一个共同的界呢？对于有限集来说，根据第一个性质，当然是可以的，这就是从local到global，这是一个十分好的性质。
而这也体现在第四个性质上。对于有限集，因为局部满足一些性质，而任何一部分都可以由有限个局部组成，那么当然更大的那一部分也满足对应的一些性质，这就是local到global。其实，这个性质更能够体现出有限的特点。
那么为什么花了这么多篇幅来讲很简单的有限集呢？请继续往下看。
显然，对于无穷集，上述性质不一定成立。那么有没有办法，加上一些条件，让这些性质成立。于是，就有了"almost finite"想法的提出，即几乎有限，或者称之为pro-finite。这个几乎有限就是紧性。因此，紧性的提出，是为了推广这些有限集的性质，将其应用在无穷集上，换句话说，正如E.OK所说的那样：The power of compactness is: providing a finite structure for infinite sets，紧性就是给无穷集提供了有限的结构，让我们可以像看待有限集一样看待它。
那么，当我们把有限集扩展成紧集，则需要对上面的性质加上一些条件，才会成立。其条件就是连续性、收敛性和开覆盖。
- 连续函数均有界
- 连续函数均能取到最大值
- 所有的序列都有收敛的子列
- All open covers have finite subcovers
而这些性质恰好是我们在教科书上看到的紧集的定义和性质。OK，其中写了这么多，核心就是，紧集是有限集的推广，紧就是"almost finite"，而这种推广在泛函分析中十分常见，比如可分是"almost countable"。在有限维空间中，紧集和有界闭集是等价的。
紧性的其他理解角度
我们还可以从其他角度来看待Compactness。比如：
- Tom Boardman: 在一个度量空间中，你若要从一点A移动到B，最坏的情况是遍历整个空间，在每个遍历的位置中心放一个开集，这样你实际上用无穷个开集构造了一个开覆盖。但若X是紧空间，这件费力的事决不会发生，你总可走有限步即可到达目标，这就很棒，所以，Compact实际上表示这个空间很小，可以掌控，因为这空间中任意两点总可在有限步内到达，所以我们喜欢它。
- Charles Matthews: non-compact的意思是可以“走向无穷”，比如在一条直线上任何一点出发，你向右或向左都可走向无穷，这样的集合就不是compact的，所谓compact就是想各种办法来“套住”你，让你不能走向无穷，比如把这条线绕成一个圈。从这个意义上，有限个开集cover整个X，或收敛的子序列，都是施加这种约束，即不让你走向无穷的手段。为什么你不想走向无穷？想像一个不紧集上的连续函数，由于你可以在定义域上走向无穷，该函数可能unbounded,或者即使bound，也没有最大或最小值，这是我们不希望的。
结语
说了这么多，其实关键就是“有限”，理解了这个，就理解了紧性。紧性也不只可以描述集合，还可以描述算子等，都是围绕着"almost finite".
