半导体器件物理(9)——PN结的正偏特性及I-V特性
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正偏特性

当P区接正电压时,PN结处于正偏状态。此时,正电压会吸引N区的电子运动到P区,相当于增强了扩散运动。我们按照反偏时的分析思路,在能带图中,扩散运动增强表示阻碍的墙降低了,即势垒降低,能带图为:

正偏能带图

这时,有更多的电子从N区注入到P区,更多的空穴从P区注入到N区,这种现象叫做少数载流子注入。这个就是正偏的特点。

再计算一下耗尽区边界处的少子浓度,方法与反偏一样,只不过这里是少子浓度增加了。

$$
n\left(x_{\mathrm{P}}\right)=n_{\mathrm{P} 0} \mathrm{e}^{q V / k T}=\frac{n_{\mathrm{i}}^2}{N_{\mathrm{a}}} \mathrm{e}^{q V / k T}
$$

$$
p\left(x_{\mathrm{N}}\right)=p_{\mathrm{N} 0} \mathrm{e}^{q V / k T}=\frac{n_{\mathrm{i}}^2}{N_{\mathrm{d}}} \mathrm{e}^{q V / k T}
$$

上面这组方程称为准平衡边界条件或者肖克莱边界条件,正偏电压使得PN结耗尽区边界处的少子浓度提升了$\mathrm{e}^{q V / k T}$倍。而对于反偏电压,就是使得边界条件处的少子浓度减小了$\mathrm{e}^{q V / k T}$倍。

这里再说一遍正偏和反偏的特点:反偏时少数载流子抽取,正偏时少数载流子注入

当耗尽区边界载流子浓度增加后,使得浓度梯度产生,从而在耗尽区外存在一个扩散运动。电子从N区注入到P区,P区耗尽区边界处将存在非平衡载流子,这个值我们也可以求出来:

$$
n^{\prime}\left(x_{\mathrm{P}}\right) \equiv n\left(x_{\mathrm{P}}\right)-n_{\mathrm{P} 0}=n_{\mathrm{P} 0}\left(\mathrm{e}^{q V / k T}-1\right)
$$

那么P区耗尽区边界处的空穴浓度有没有变化呢?如果有变化,变化了多少呢?当然是有变化的,且是增加的,这是因为耗尽区外成电中性,所以$\Delta n=\Delta p$。

过剩载流子分布

从耗尽区边界处往外,是一个扩散运动。考虑n区空穴的扩散。在扩散的过程中,空穴会与N区漂移来的电子不断复合。根据连续性方程的思想,达到稳定状态后,空穴浓度将不随时间变化,在某一确定位置处,增加的空穴等于减少的空穴量,增加的空穴量为扩散来的空穴量,减少的空穴是复合引起的,所以可以写成下面的方程:

$$
-\frac{1}{q}\frac{dJ_p}{dx}=\frac{p'}{\tau_p}
$$

将扩散电流的公式代入得:

$$
D_p \frac{\mathrm{d}^2 p}{\mathrm{~d} x^2}= \frac{p^{\prime}}{\tau_p}
$$

假定掺杂是均匀的,用p'替换p,并变换一下,

$$
\frac{\mathrm{d}^2 p^{\prime}}{\mathrm{d} x^2}=\frac{p^{\prime}}{D_p \tau_p}=\frac{p^{\prime}}{L_p^2}
$$

其中$L_p$是我们讲过的扩散长度,$L_p=\sqrt{D_p\tau_p}$。

同理,对于电子我们也可以得到:

$$
\frac{\mathrm{d}^2 n^{\prime}}{\mathrm{d} x^2}=\frac{n^{\prime}}{L_n^2}
$$

利用肖克莱边界条件,求解这个微分方程,可以得到过剩载流子的分布:

$$
p^{\prime}(x)=p_{\mathrm{N} 0}\left(\mathrm{e}^{q V / k T}-1\right) \mathrm{e}^{-\left(x-x_N\right) / L_p}, \quad x>x_{\mathrm{N}}
$$

$$
n^{\prime}(x)=n_{\mathrm{P} 0}\left(\mathrm{e}^{q V / k T}-1\right) \mathrm{e}^{\left(x-x_P\right) / L_n}, \quad x< x_{\mathrm{P}}
$$

I-V特性

知道了过剩载流子分布,下面我们来分析电流。首先是我们需要知道的一件事情,那就是根据电流连续性,PN结内的电流密度是处处相等的。

那么,可能会有人有这个问题,这个问题之前也困惑了我挺久的,那就是如果非平衡多子和非平衡少子浓度相等,那它们的浓度梯度应该也是一样的(如果扩散系数一样),扩散电流也应该是一样的,那为什么电子电流和空穴电流有这么大的差别?下面说一下我的理解。

这个说法是很对的,也正是因为这个,才会导致$J_n+J_p$始终相等。解答这个问题也很简单,那就是明确电子电流和空穴电流的组成。电流是由扩散电流与漂移电流组成的。之前我一直忽视了漂移电流的存在,因为我觉得耗尽区外无电场,就自然而然的忽视了漂移电流的存在。但这是不对的,这就和“为什么耗尽区内无载流子,还会有电流的存在”这个问题是一样的。耗尽区内无载流子只是我们的假设,因为耗尽区内的载流子浓度相比于两边要小很多,但是之前说过,这是一个相对的小,可能载流子浓度并不低,只是相对比较小。因此,耗尽区是会有电流通过的。同样的,耗尽区外也是一样,如果没有电场,那么为什么P区可以源源不断的向N区输送空穴。但这个电场具体是多少,我们不好得知(甚至都忽略了),因此,我们计算电流并不采用计算漂移电流的方法。由于漂移电流的存在,即使少子和多子扩散电流相同,但最后的少子电流和多子电流也不同。

下面就来看一下电流的变化吧,看懂这个图,计算电流就很简单了。首先,在耗尽区外,少子发生扩散,扩散的过程中会随着复合逐渐减小。我们可以假定一个位置,这个位置处的少子因为复合可以忽略不计了,不存在过剩载流子了,在这个位置外就没有扩散过程了。然后将耗尽区边界与这个位置之间的区域称为扩散区。因此,我们将PN结分为下面几个区域,分别讨论各个区域的电子电流和空穴电流。没找到扩散区外的区域叫什么名字,在这里就暂且称为平衡区吧,表示没有过剩载流子。

首先来看载流子的分布,在扩散区内,少子浓度增加。因为是小注入条件,注入的非平衡载流子浓度远小于多子浓度,故多子浓度可以看作不变。

先看空穴电流,P区的平衡区内,由于没有扩散,故只有漂移电流,空穴电流$J_p=(J_p)_漂$。由于空穴浓度远大于电子浓度,故此时的电流几乎都是空穴电流,电子电流几乎为0.

进入到扩散区后,电子和空穴都存在浓度梯度,开始有扩散电流存在。对于空穴来说,扩散电流的方向与漂移电流的方向相反,所以空穴电流将减小。电子电流中,漂移电流很小,扩散电流占了主要部分,电子电流增加。还记得之前的那个问题吗,电子和空穴的扩散电流是相等的(依旧不考虑扩散系数的不同),那么空穴电流的减小量和电子电流的增加量相同。(漂移电流可能会变化,扩散系数不同,这些就都不考虑,都考虑的话也太复杂了,这个并不重要,总之空穴电流与电子电流的和是不变的)。

在耗尽区内,因为不考虑载流子的产生和复合,因此,电子电流和空穴电流均不改变。

到了N区扩散区,空穴电流就主要是扩散电流,然后随着复合,扩散电流也逐渐减小。同时电子电流为漂移电流加扩散电流,扩散电流减小,电子电流增加。因此,就得到了下面的图:

接下来就来计算电流密度。由于每个地方的电流都是相等的,我们可以选择耗尽区边界处,来计算。选择$x_N$处,可以得到:

$$
J=J_n(x_N)+J_p(x_N)
$$

此时的电子电流是漂移电流,我们并不容易计算,由于耗尽区内电流密度不变,因此可以写成下面的式子:

$$
J=J_n(x_P)+J_p(x_N)
$$

这两个电流均是少子扩散电流,那么计算起来就简单了。上面已经求过少子载流子分布了,根据扩散电流公式,可得:

$$
J_{p}(x_N)=-q D_p \frac{\mathrm{d} p^{\prime}(x)}{\mathrm{d} x}=q \frac{D_p}{L_p} p_{\mathrm{N} 0}\left(\mathrm{e}^{q V / k T}-1\right) \mathrm{e}^{-\left(x-x_{\mathrm{N}}\right) / L_p}
$$

$$
J_{n}(x_P)=q D_n \frac{\mathrm{d} n^{\prime}(x)}{\mathrm{d} x}=q \frac{D_n}{L_n} n_{\mathrm{P} 0}\left(\mathrm{e}^{q V / k T}-1\right) \mathrm{e}^{\left(x-x_{\mathrm{p}}\right) / L_n}
$$

求和可得PN结的正向电流密度:

$$
J=J_{p}\left(x_{\mathrm{N}}\right)+J_{n }\left(x_{\mathrm{P}}\right)=\left(q \frac{D_p}{L_p} p_{\mathrm{N} 0}+q \frac{D_{\mathrm{n}}}{L_{\mathrm{n}}} n_{\mathrm{P} 0}\right)\left(\mathrm{e}^{q V / k T}-1\right)
$$

根据电流密度与电流的关系,可以得到:

$$
I=I_0\left(\mathrm{e}^{q V / k T}-1\right)
$$

$$
I_0=A q n_{\mathrm{i}}^2\left(\frac{D_p}{L_p N_{\mathrm{d}}}+\frac{D_n}{L_n N_{\mathrm{a}}}\right)
$$

上面这个公式也适用于反向偏压,同样是少子扩散电流求和。为什么反向电流小呢?因为反偏对应着少数载流子抽取,少数载流子本来就很少,因此形成的浓度梯度很小,故扩散电流很小。

关于电流的讨论

从上面的推导中,不难发现,在计算电流的时候,总电流为N区的空穴扩散电流和P区的电子扩散电流相加得到。这两个部分都是少子电流。

那么看一个问题,如果掺杂浓度提高,那么电流会怎么变呢?首先,从公式上看,我们发现电流是会变小的。但这不是很符合第一印象,因为掺杂浓度提高,就能够注入更多的少子数,那么为什么呢?这是因为掺杂浓度提高,势垒也会提高,那么并不会出现能够注入更多的少子数的情况。那么为什么会减小呢,在外加电压相同的情况下,以P区为例,如果增加P区的掺杂浓度,先考虑P注入N的空穴数。前面已经说了,掺杂浓度提高,势垒高度也会相应的提高。当外加电压降低势垒后,能够过去的空穴数与势垒的变化量,即外加电压有关,而与原本的势垒无关。因此,P区掺杂浓度增高后,从P区注入到N区的空穴数并未改变。而从N区注入到P区的电子呢?看这个公式,$n\left(x_{\mathrm{P}}\right)=n_{\mathrm{P} 0} \mathrm{e}^{q V / k T}$,自身的电子数减小了,从而导致从N区注入过来的电子数减少了。因此,这个现象就很有意思,P区掺杂浓度增大,结果注入到N区的空穴不变,反而从N区过来的电子减少了。

再来看一个有意思的图:

上面两个图分别是正偏和反偏时的少子浓度曲线和I-V特性曲线,我们可以发现,正偏时,I-V特性曲线与正偏时的少子分布很像,同样的,反偏时也一样。如果P区掺杂浓度增加,平衡时少子浓度减少,对于蓝线来说,显然收缩了,对应着I-V特性中的电流减小。而对于绿线来说,由于少子浓度是平衡时乘以了个$exp(\frac{qV}{kT})$,因此,如果少子浓度变化了$\Delta p$,边界处的浓度就变化了$\Delta p\times exp(\frac{qV}{kT})$,所以绿线的最高值减小的值更多,所以绿线也是收缩了,对应的I-V特性中的电流减小。这是不是一个很有意思的角度?

因此,PN结可以说是一个少子型器件,少子浓度的改变会极大的影响器件的特性,而多子浓度的影响也是反映在少子上的。

再来看一种情况,当PN结是单边突变结时,N区和P区掺杂浓度相差很大。此时,重掺杂区相比于轻掺杂区少子很少,浓度梯度也小很多。因此,在耗尽区边界处计算电流时,轻掺杂一侧的少子扩散电流要远大于重掺杂一侧的少子扩散电流。轻掺杂区一侧的少子扩散电流占据主导作用。而三极管就是利用这个特性,如果能够将这两个少子扩散电流区分开,将重掺杂一侧的扩散电流作为输入电流,将轻掺杂一侧的电流作为输出电流,那么就实现了放大。如何做到呢?就是利用反向偏置时的少数载流子抽取,将轻掺杂一侧的少子抽走,让它从另一个区域流走。这会到讲三极管的时候具体说。

耗尽区的贡献

在前面的讨论中,都把耗尽区理想化了。如果考虑了耗尽区的影响,那么I-V特性会发生怎样的变化呢?

耗尽区区域内会发生产生和复合,这些产生复合引起的电流称作空间电荷区电流。首先是,空间电荷区中的载流子浓度满足下面的关系式:

$$
p n=N_{\mathrm{c}} N_{\mathrm{v}} \mathrm{e}^{-\left(E_{\mathrm{c}}-E_{\mathrm{v}}\right) / k T} \mathrm{e}^{\left(E_{\mathrm{F} n}-E_{\mathrm{F} p}\right) / k T}=n_{\mathrm{i}}^2 \mathrm{e}^{\frac{q V}{k T}}
$$

载流子的复合过程需要同时有电子和空穴的参与,因此,可以认为最大复合率发生在n与p近似相等的位置,此时

$$
n \approx p \approx n_i e^{\frac{q V}{2 k T}}
$$

此时减去$n_i$相当于过剩载流子,其复合率就等于

$$
R=\frac{\Delta n}{\tau_{dep}}=\frac{n_i}{\tau_{d e p}}\left(e^{\frac{q V}{2 k T}}-1\right)
$$

这个式子表明,外加电压为负时,复合率为负,有净产生。产生的载流子会在电场的作用下,拉向两边的中性区,形成一股电流。根据$\frac{1}{q}\frac{dJ}{dx}=G$,电子和空穴会往两个方向移动,对其积分求和后,再转化为电流,与之前的电流相加后,可以得到:

$$
I=I_0\left(\mathrm{e}^{\frac{q V}{k T}}-1\right)+A \frac{q n_{\mathrm{i}} W_{\mathrm{dep}}}{\tau_{\mathrm{dep}}}\left(\mathrm{e}^{\frac{q V}{2 k T}}-1\right)
$$

反偏时的电流为:

$$
I_{\text {leakage }}=I_0+A \frac{q n_{\mathrm{i}} W_{\mathrm{dep}}}{\tau_{\mathrm{dep}}}
$$

反偏电流增大。

外加电压为正时,复合率为正,表明有净复合。同样的,也可以得到上面的式子。这个式子表明复合电流使得正向电流也增大。这个可以解释为,耗尽区内发生复合,则到达另一边的载流子数目就少了,此时需要注入更多的载流子。因此,电流增加。

因此,为了减少反向漏电流,需要保证产生/复合寿命足够大,减少产生。大的产生/复合寿命就要保证缺陷一定要少。

电荷存储

在关于电流的讨论那一节中,我们可以发现,少子浓度与电流有一个对应关系。这就是本节所要讲的内容。

在正偏时,PN结中存在过剩载流子,这种现象叫做电荷存储(charge storage)。显然,存储的电荷正比于$\Delta n_p(-x_p)$和$\Delta p_n(x_n)$,也就是正比于$e^{qV/kT}-1$。根据I-V的公式,发现电流也正比于$e^{qV/kT}-1$,因此,可以说$Q\propto I$。而这也是为什么会有关于电流的讨论那一节中那个有趣的图。

也可以这么解释,电流反映的是PN结中少子电荷的注入速率,在稳态情况下,注入等于复合,电荷的复合可以表示为:$Q/\tau_s$。因此,得到:

$$
I=Q/\tau_s
$$

其中,$\tau_s$被称为电荷存储时间。在一个单边突变结中,$\tau _s$是轻掺杂一侧的复合寿命。

从这个意义上说,电流$I$和存储电荷$Q$总是通过一个电荷存储时间$\tau _s$联系在一起的,不仅仅是对于PN结来说。

小信号模型

从PN结二极管的结构上来说,可以将其等效为一个RC电路。如下图所示:

我们关心的是二极管对于输入信号的微弱改变的相应,即$\frac{dI}{dV}$。我们常常讲二极管偏执在某一个固定的直流$I_{DC}$上,由此可得:

$$
G \equiv \frac{1}{R}=\frac{d I}{d V}=\frac{d}{d V} I_0\left(e^{q V / k T}-1\right)=\frac{d}{d V} I_0 e^{q V / k T}=\frac{q I_0}{k T} e^{q V / k T} \approx I_{D C} / \frac{k T}{q}
$$

室温下,PN结的电导为:

$$
G=I_{DC}/26mV
$$

所以,PN结小信号下的电导或电阻可以通过调节直流工作点来调节。

采用同样的方法可以得到电容$C$

$$
C=\frac{d Q}{d V}=\tau_s \frac{d I}{d V}=\tau_s G=\tau_s I_{D C} / \frac{k T}{q}
$$

可以发现,二极管的RC延迟时间就是电荷存储时间。因此,可以通过测量二极管的小信号电容,就可以测得其电荷存储时间。这个小信号电容也称为扩散电容或电荷存储电容

更准确的说,小信号电容还要包括耗尽层电容,但是由于正偏条件下,扩散电容要远大于耗尽层电容。这也是为什么我们讨论C-V特性要在反偏条件下进行的原因。但是二者都会影响器件或电路的工作速度和频率。

$$
C=\tau_s I_{D C} / \frac{k T}{q}+\frac{\varepsilon_s A}{W_{d e p}}
$$

在实际情况下,PN结两侧的中性区还有寄生电阻,因此,对于一个完整的小信号模型,需要同时考虑到两侧的寄生电阻、扩散电容、耗尽区电容。当正向偏压很大时,电流很大,寄生电容的影响就不能忽视了。因此,会降低大电压时的电流。

因此,实际IV曲线偏移理想的有三部分:

  1. 反偏电压很大时,会发生击穿。
  2. 由于空间电荷区电流的影响,提高了电流。
  3. 正偏电压很大时,由于寄生电容的影响,使得电流降低。
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