正偏特性
当P区接正电压时，PN结处于正偏状态。此时，正电压会吸引N区的电子运动到P区，相当于增强了扩散运动。我们按照反偏时的分析思路，在能带图中，扩散运动增强表示阻碍的墙降低了，即势垒降低，能带图为：
这时，有更多的电子从N区注入到P区，更多的空穴从P区注入到N区，这种现象叫做少数载流子注入。这个就是正偏的特点。
再计算一下耗尽区边界处的少子浓度，方法与反偏一样，只不过这里是少子浓度增加了。
$$
n\left(x_{\mathrm{P}}\right)=n_{\mathrm{P} 0} \mathrm{e}^{q V / k T}=\frac{n_{\mathrm{i}}^2}{N_{\mathrm{a}}} \mathrm{e}^{q V / k T}
$$
$$
p\left(x_{\mathrm{N}}\right)=p_{\mathrm{N} 0} \mathrm{e}^{q V / k T}=\frac{n_{\mathrm{i}}^2}{N_{\mathrm{d}}} \mathrm{e}^{q V / k T}
$$
上面这组方程称为准平衡边界条件或者肖克莱边界条件，正偏电压使得PN结耗尽区边界处的少子浓度提升了$\mathrm{e}^{q V / k T}$倍。而对于反偏电压，就是使得边界条件处的少子浓度减小了$\mathrm{e}^{q V / k T}$倍。
这里再说一遍正偏和反偏的特点：反偏时少数载流子抽取，正偏时少数载流子注入。
当耗尽区边界载流子浓度增加后，使得浓度梯度产生，从而在耗尽区外存在一个扩散运动。电子从N区注入到P区，P区耗尽区边界处将存在非平衡载流子，这个值我们也可以求出来：
$$
n^{\prime}\left(x_{\mathrm{P}}\right) \equiv n\left(x_{\mathrm{P}}\right)-n_{\mathrm{P} 0}=n_{\mathrm{P} 0}\left(\mathrm{e}^{q V / k T}-1\right)
$$
那么P区耗尽区边界处的空穴浓度有没有变化呢？如果有变化，变化了多少呢？当然是有变化的，且是增加的，这是因为耗尽区外成电中性，所以$\Delta n=\Delta p$。
过剩载流子分布
从耗尽区边界处往外，是一个扩散运动。考虑n区空穴的扩散。在扩散的过程中，空穴会与N区漂移来的电子不断复合。根据连续性方程的思想，达到稳定状态后，空穴浓度将不随时间变化，在某一确定位置处，增加的空穴等于减少的空穴量，增加的空穴量为扩散来的空穴量，减少的空穴是复合引起的，所以可以写成下面的方程：
$$
-\frac{1}{q}\frac{dJ_p}{dx}=\frac{p'}{\tau_p}
$$
将扩散电流的公式代入得：
$$
D_p \frac{\mathrm{d}^2 p}{\mathrm{~d} x^2}= \frac{p^{\prime}}{\tau_p}
$$
假定掺杂是均匀的，用p'替换p，并变换一下，
$$
\frac{\mathrm{d}^2 p^{\prime}}{\mathrm{d} x^2}=\frac{p^{\prime}}{D_p \tau_p}=\frac{p^{\prime}}{L_p^2}
$$
其中$L_p$是我们讲过的扩散长度，$L_p=\sqrt{D_p\tau_p}$。
同理，对于电子我们也可以得到：
$$
\frac{\mathrm{d}^2 n^{\prime}}{\mathrm{d} x^2}=\frac{n^{\prime}}{L_n^2}
$$
利用肖克莱边界条件，求解这个微分方程，可以得到过剩载流子的分布：
$$
p^{\prime}(x)=p_{\mathrm{N} 0}\left(\mathrm{e}^{q V / k T}-1\right) \mathrm{e}^{-\left(x-x_N\right) / L_p}, \quad x>x_{\mathrm{N}}
$$
$$
n^{\prime}(x)=n_{\mathrm{P} 0}\left(\mathrm{e}^{q V / k T}-1\right) \mathrm{e}^{\left(x-x_P\right) / L_n}, \quad x< x_{\mathrm{P}}
$$
I-V特性
知道了过剩载流子分布，下面我们来分析电流。首先是我们需要知道的一件事情，那就是根据电流连续性，PN结内的电流密度是处处相等的。
那么，可能会有人有这个问题，这个问题之前也困惑了我挺久的，那就是如果非平衡多子和非平衡少子浓度相等，那它们的浓度梯度应该也是一样的（如果扩散系数一样），扩散电流也应该是一样的，那为什么电子电流和空穴电流有这么大的差别？下面说一下我的理解。
这个说法是很对的，也正是因为这个，才会导致$J_n+J_p$始终相等。解答这个问题也很简单，那就是明确电子电流和空穴电流的组成。电流是由扩散电流与漂移电流组成的。之前我一直忽视了漂移电流的存在，因为我觉得耗尽区外无电场，就自然而然的忽视了漂移电流的存在。但这是不对的，这就和“为什么耗尽区内无载流子，还会有电流的存在”这个问题是一样的。耗尽区内无载流子只是我们的假设，因为耗尽区内的载流子浓度相比于两边要小很多，但是之前说过，这是一个相对的小，可能载流子浓度并不低，只是相对比较小。因此，耗尽区是会有电流通过的。同样的，耗尽区外也是一样，如果没有电场，那么为什么P区可以源源不断的向N区输送空穴。但这个电场具体是多少，我们不好得知（甚至都忽略了），因此，我们计算电流并不采用计算漂移电流的方法。由于漂移电流的存在，即使少子和多子扩散电流相同，但最后的少子电流和多子电流也不同。
下面就来看一下电流的变化吧，看懂这个图，计算电流就很简单了。首先，在耗尽区外，少子发生扩散，扩散的过程中会随着复合逐渐减小。我们可以假定一个位置，这个位置处的少子因为复合可以忽略不计了，不存在过剩载流子了，在这个位置外就没有扩散过程了。然后将耗尽区边界与这个位置之间的区域称为扩散区。因此，我们将PN结分为下面几个区域，分别讨论各个区域的电子电流和空穴电流。没找到扩散区外的区域叫什么名字，在这里就暂且称为平衡区吧，表示没有过剩载流子。
首先来看载流子的分布，在扩散区内，少子浓度增加。因为是小注入条件，注入的非平衡载流子浓度远小于多子浓度，故多子浓度可以看作不变。
先看空穴电流，P区的平衡区内，由于没有扩散，故只有漂移电流，空穴电流$J_p=(J_p)_漂$。由于空穴浓度远大于电子浓度，故此时的电流几乎都是空穴电流，电子电流几乎为0.
进入到扩散区后，电子和空穴都存在浓度梯度，开始有扩散电流存在。对于空穴来说，扩散电流的方向与漂移电流的方向相反，所以空穴电流将减小。电子电流中，漂移电流很小，扩散电流占了主要部分，电子电流增加。还记得之前的那个问题吗，电子和空穴的扩散电流是相等的（依旧不考虑扩散系数的不同），那么空穴电流的减小量和电子电流的增加量相同。（漂移电流可能会变化，扩散系数不同，这些就都不考虑，都考虑的话也太复杂了，这个并不重要，总之空穴电流与电子电流的和是不变的）。
在耗尽区内，因为不考虑载流子的产生和复合，因此，电子电流和空穴电流均不改变。
到了N区扩散区，空穴电流就主要是扩散电流，然后随着复合，扩散电流也逐渐减小。同时电子电流为漂移电流加扩散电流，扩散电流减小，电子电流增加。因此，就得到了下面的图：
接下来就来计算电流密度。由于每个地方的电流都是相等的，我们可以选择耗尽区边界处，来计算。选择$x_N$处，可以得到：
$$
J=J_n(x_N)+J_p(x_N)
$$
此时的电子电流是漂移电流，我们并不容易计算，由于耗尽区内电流密度不变，因此可以写成下面的式子：
$$
J=J_n(x_P)+J_p(x_N)
$$
这两个电流均是少子扩散电流，那么计算起来就简单了。上面已经求过少子载流子分布了，根据扩散电流公式，可得：
$$
J_{p}(x_N)=-q D_p \frac{\mathrm{d} p^{\prime}(x)}{\mathrm{d} x}=q \frac{D_p}{L_p} p_{\mathrm{N} 0}\left(\mathrm{e}^{q V / k T}-1\right) \mathrm{e}^{-\left(x-x_{\mathrm{N}}\right) / L_p}
$$
$$
J_{n}(x_P)=q D_n \frac{\mathrm{d} n^{\prime}(x)}{\mathrm{d} x}=q \frac{D_n}{L_n} n_{\mathrm{P} 0}\left(\mathrm{e}^{q V / k T}-1\right) \mathrm{e}^{\left(x-x_{\mathrm{p}}\right) / L_n}
$$
求和可得PN结的正向电流密度：
$$
J=J_{p}\left(x_{\mathrm{N}}\right)+J_{n }\left(x_{\mathrm{P}}\right)=\left(q \frac{D_p}{L_p} p_{\mathrm{N} 0}+q \frac{D_{\mathrm{n}}}{L_{\mathrm{n}}} n_{\mathrm{P} 0}\right)\left(\mathrm{e}^{q V / k T}-1\right)
$$
根据电流密度与电流的关系，可以得到：
$$
I=I_0\left(\mathrm{e}^{q V / k T}-1\right)
$$
$$
I_0=A q n_{\mathrm{i}}^2\left(\frac{D_p}{L_p N_{\mathrm{d}}}+\frac{D_n}{L_n N_{\mathrm{a}}}\right)
$$
上面这个公式也适用于反向偏压，同样是少子扩散电流求和。为什么反向电流小呢？因为反偏对应着少数载流子抽取，少数载流子本来就很少，因此形成的浓度梯度很小，故扩散电流很小。
关于电流的讨论
从上面的推导中，不难发现，在计算电流的时候，总电流为N区的空穴扩散电流和P区的电子扩散电流相加得到。这两个部分都是少子电流。
那么看一个问题，如果掺杂浓度提高，那么电流会怎么变呢？首先，从公式上看，我们发现电流是会变小的。但这不是很符合第一印象，因为掺杂浓度提高，就能够注入更多的少子数，那么为什么呢？这是因为掺杂浓度提高，势垒也会提高，那么并不会出现能够注入更多的少子数的情况。那么为什么会减小呢，在外加电压相同的情况下，以P区为例，如果增加P区的掺杂浓度，先考虑P注入N的空穴数。前面已经说了，掺杂浓度提高，势垒高度也会相应的提高。当外加电压降低势垒后，能够过去的空穴数与势垒的变化量，即外加电压有关，而与原本的势垒无关。因此，P区掺杂浓度增高后，从P区注入到N区的空穴数并未改变。而从N区注入到P区的电子呢？看这个公式，$n\left(x_{\mathrm{P}}\right)=n_{\mathrm{P} 0} \mathrm{e}^{q V / k T}$，自身的电子数减小了，从而导致从N区注入过来的电子数减少了。因此，这个现象就很有意思，P区掺杂浓度增大，结果注入到N区的空穴不变，反而从N区过来的电子减少了。
再来看一个有意思的图：
上面两个图分别是正偏和反偏时的少子浓度曲线和I-V特性曲线，我们可以发现，正偏时，I-V特性曲线与正偏时的少子分布很像，同样的，反偏时也一样。如果P区掺杂浓度增加，平衡时少子浓度减少，对于蓝线来说，显然收缩了，对应着I-V特性中的电流减小。而对于绿线来说，由于少子浓度是平衡时乘以了个$exp(\frac{qV}{kT})$，因此，如果少子浓度变化了$\Delta p$，边界处的浓度就变化了$\Delta p\times exp(\frac{qV}{kT})$，所以绿线的最高值减小的值更多，所以绿线也是收缩了，对应的I-V特性中的电流减小。这是不是一个很有意思的角度？
因此，PN结可以说是一个少子型器件，少子浓度的改变会极大的影响器件的特性，而多子浓度的影响也是反映在少子上的。
再来看一种情况，当PN结是单边突变结时，N区和P区掺杂浓度相差很大。此时，重掺杂区相比于轻掺杂区少子很少，浓度梯度也小很多。因此，在耗尽区边界处计算电流时，轻掺杂一侧的少子扩散电流要远大于重掺杂一侧的少子扩散电流。轻掺杂区一侧的少子扩散电流占据主导作用。而三极管就是利用这个特性，如果能够将这两个少子扩散电流区分开，将重掺杂一侧的扩散电流作为输入电流，将轻掺杂一侧的电流作为输出电流，那么就实现了放大。如何做到呢？就是利用反向偏置时的少数载流子抽取，将轻掺杂一侧的少子抽走，让它从另一个区域流走。这会到讲三极管的时候具体说。
耗尽区的贡献
在前面的讨论中，都把耗尽区理想化了。如果考虑了耗尽区的影响，那么I-V特性会发生怎样的变化呢？
耗尽区区域内会发生产生和复合，这些产生复合引起的电流称作空间电荷区电流。首先是，空间电荷区中的载流子浓度满足下面的关系式：
$$
p n=N_{\mathrm{c}} N_{\mathrm{v}} \mathrm{e}^{-\left(E_{\mathrm{c}}-E_{\mathrm{v}}\right) / k T} \mathrm{e}^{\left(E_{\mathrm{F} n}-E_{\mathrm{F} p}\right) / k T}=n_{\mathrm{i}}^2 \mathrm{e}^{\frac{q V}{k T}}
$$
载流子的复合过程需要同时有电子和空穴的参与，因此，可以认为最大复合率发生在n与p近似相等的位置，此时
$$
n \approx p \approx n_i e^{\frac{q V}{2 k T}}
$$
此时减去$n_i$相当于过剩载流子，其复合率就等于
$$
R=\frac{\Delta n}{\tau_{dep}}=\frac{n_i}{\tau_{d e p}}\left(e^{\frac{q V}{2 k T}}-1\right)
$$
这个式子表明，外加电压为负时，复合率为负，有净产生。产生的载流子会在电场的作用下，拉向两边的中性区，形成一股电流。根据$\frac{1}{q}\frac{dJ}{dx}=G$，电子和空穴会往两个方向移动，对其积分求和后，再转化为电流，与之前的电流相加后，可以得到：
$$
I=I_0\left(\mathrm{e}^{\frac{q V}{k T}}-1\right)+A \frac{q n_{\mathrm{i}} W_{\mathrm{dep}}}{\tau_{\mathrm{dep}}}\left(\mathrm{e}^{\frac{q V}{2 k T}}-1\right)
$$
反偏时的电流为：
$$
I_{\text {leakage }}=I_0+A \frac{q n_{\mathrm{i}} W_{\mathrm{dep}}}{\tau_{\mathrm{dep}}}
$$
反偏电流增大。
外加电压为正时，复合率为正，表明有净复合。同样的，也可以得到上面的式子。这个式子表明复合电流使得正向电流也增大。这个可以解释为，耗尽区内发生复合，则到达另一边的载流子数目就少了，此时需要注入更多的载流子。因此，电流增加。
因此，为了减少反向漏电流，需要保证产生/复合寿命足够大，减少产生。大的产生/复合寿命就要保证缺陷一定要少。
电荷存储
在关于电流的讨论那一节中，我们可以发现，少子浓度与电流有一个对应关系。这就是本节所要讲的内容。
在正偏时，PN结中存在过剩载流子，这种现象叫做电荷存储(charge storage)。显然，存储的电荷正比于$\Delta n_p(-x_p)$和$\Delta p_n(x_n)$，也就是正比于$e^{qV/kT}-1$。根据I-V的公式，发现电流也正比于$e^{qV/kT}-1$，因此，可以说$Q\propto I$。而这也是为什么会有关于电流的讨论那一节中那个有趣的图。
也可以这么解释，电流反映的是PN结中少子电荷的注入速率，在稳态情况下，注入等于复合，电荷的复合可以表示为：$Q/\tau_s$。因此，得到:
$$
I=Q/\tau_s
$$
其中，$\tau_s$被称为电荷存储时间。在一个单边突变结中，$\tau _s$是轻掺杂一侧的复合寿命。
从这个意义上说，电流$I$和存储电荷$Q$总是通过一个电荷存储时间$\tau _s$联系在一起的，不仅仅是对于PN结来说。
小信号模型
从PN结二极管的结构上来说，可以将其等效为一个RC电路。如下图所示：
我们关心的是二极管对于输入信号的微弱改变的相应，即$\frac{dI}{dV}$。我们常常讲二极管偏执在某一个固定的直流$I_{DC}$上，由此可得：
$$
G \equiv \frac{1}{R}=\frac{d I}{d V}=\frac{d}{d V} I_0\left(e^{q V / k T}-1\right)=\frac{d}{d V} I_0 e^{q V / k T}=\frac{q I_0}{k T} e^{q V / k T} \approx I_{D C} / \frac{k T}{q}
$$
室温下，PN结的电导为：
$$
G=I_{DC}/26mV
$$
所以，PN结小信号下的电导或电阻可以通过调节直流工作点来调节。
采用同样的方法可以得到电容$C$
$$
C=\frac{d Q}{d V}=\tau_s \frac{d I}{d V}=\tau_s G=\tau_s I_{D C} / \frac{k T}{q}
$$
可以发现，二极管的RC延迟时间就是电荷存储时间。因此，可以通过测量二极管的小信号电容，就可以测得其电荷存储时间。这个小信号电容也称为扩散电容或电荷存储电容。
更准确的说，小信号电容还要包括耗尽层电容，但是由于正偏条件下，扩散电容要远大于耗尽层电容。这也是为什么我们讨论C-V特性要在反偏条件下进行的原因。但是二者都会影响器件或电路的工作速度和频率。
$$
C=\tau_s I_{D C} / \frac{k T}{q}+\frac{\varepsilon_s A}{W_{d e p}}
$$
在实际情况下，PN结两侧的中性区还有寄生电阻，因此，对于一个完整的小信号模型，需要同时考虑到两侧的寄生电阻、扩散电容、耗尽区电容。当正向偏压很大时，电流很大，寄生电容的影响就不能忽视了。因此，会降低大电压时的电流。
因此，实际IV曲线偏移理想的有三部分：
- 反偏电压很大时，会发生击穿。
- 由于空间电荷区电流的影响，提高了电流。
- 正偏电压很大时，由于寄生电容的影响，使得电流降低。
