扩散运动
上节详细说明了非平衡载流子和复合效应。考虑一个场景，用恒定光照射N型半导体，那么在表面出非平衡载流子浓度将保持恒定值$\Delta p$，这就形成了浓度梯度，于是会发生扩散运动。当扩散达到稳定后，即每个位置的载流子浓度不发生改变。那么对于任意一个位置，单位时间内，这个位置主要发生两个过程：
- 从前面的位置扩散过来的空穴导致空穴增加 --> $-\frac{dS_p(x)}{dx}=D_p\frac{d^2\Delta p(x)}{dx^2}$
- 空穴复合导致空穴减少 --> $\frac{\Delta p}{x}$
这两个过程应该相等，于是可以得到一个二阶微分方程，求得通解为：
$$
\Delta p(x)=Aexp(-\frac{x}{L_p})+Bexp(\frac{x}{L_p})
$$
其中，$L_p=\sqrt{D_p\tau}$，这是扩散运动中很重要的一个物理量，称为扩散长度。
下面主要讨论两种情况，而这两种情况也是我们最常见的情况。比如在双极型晶体管中，基极很薄，就对应着厚度远小于扩散长度的情况。
- 样品足够厚
利用无穷远处过剩载流子为0的边界条件，就可以求出最后的解，可以得到是一个指数分布，也符合预期。其中$L_p$和寿命类似，表示空穴在边扩散边复合的过程中，减少至原值的$1/e$时所扩散的距离。
- 样品厚度一定
假设样品厚度为W，并且设法在样品另一端将非平衡载流子全部引出，即在x=W处，非平衡载流子浓度为0。此时的解比较复杂。我们考虑一种特殊情况，$W\ll L_p$。此时求得的解为：
$$
\Delta p_0=(\Delta p)_0(1-\frac{x}{W})
$$
可以发现是一个线性分布。此时，可以求处扩散流密度为
$$
S_p=(\Delta p)_0\frac{D_p}{W}
$$
可以发现扩散流密度是一个常数，这表明非平衡载流子在样品中没有复合。这也符合我们的直观感受，宽度很小，载流子来不及复合就被抽走了。
扩散运动伴随着电子和空穴的定向运动，因此会形成扩散电流。基于上述分析，可以得到扩散电流密度：
$$
(J_p)_扩=-qD_p\frac{d\Delta p(x)}{dx}
$$
$$
(J_n)_扩=qD_n\frac{d\Delta n(x)}{dx}
$$
漂移扩散
至此，已经介绍完了漂移运动和扩散运动。它们对应的电流密度表达式如下：
$$
(J_n)_漂=q(n_0+\Delta n)\mu_n E=qn\mu_n E
$$
$$
(J_p)_漂=q(p_0+\Delta p)\mu_p E=qp\mu_p E
$$
$$
(J_p)_扩=-qD_p\frac{d\Delta p(x)}{dx}
$$
$$
(J_n)_扩=qD_n\frac{d\Delta n(x)}{dx}
$$
当非平衡载流子不均匀时，如果外加电场，那么非平衡载流子也会受到电场力发生运动。此时，半导体中将同时存在两种运动：漂移运动和扩散运动。此时电子和空穴的电流密度为：
$$
J_n=(J_n)_漂+(J_n)_扩=qn\mu_n E+qD_n\frac{d\Delta n(x)}{dx}
$$
$$
J_p=(J_p)_漂+(J_p)_扩=qp\mu_p E-qD_p\frac{d\Delta p(x)}{dx}
$$
爱因斯坦关系式
考虑一块处于热平衡状态的非均匀的n型半导体，由于其掺杂非均匀，则存在浓度梯度，将会发生扩散。扩散运动有使载流子分布均匀的趋势，使得半导体内部不再是处处保持电中性，因此体内将存在静电场$E$。这个电场导致载流子作漂移运动。由于在平衡条件下，不存在宏观电流，因此$J_n=0,J_p=0$。
根据上部分的内容，我们求出如下关系式，这就是爱因斯坦关系式。推导过程有兴趣的可以去看教材，这里就不写了。
$$
\frac{D_n}{\mu _n}=\frac{k_0T}{q}
$$
$$
\frac{D_p}{\mu _p}=\frac{k_0T}{q}
$$
这反映了其扩散系数和迁移率是存在一定的关系的，将半导体中最核心的两个运动过程联系了起来。
虽然上面的公式是在热平衡的条件下推导的，但是这个关系式对非平衡载流子也是成立的。这也说明了对于刚刚激发处的非平衡载流子，虽然具有和平衡载流子不同的速度和能量，但由于晶格的作用，在比寿命短的多的时间中已和平衡载流子没有什么区别。
连续性方程
通过上面的学习，可以知道扩散运动和漂移运动是同时存在的，可以根据这个来求出少子所遵守的运动方程，这也是半导体中的基本方程之一。
研究这个问题的核心，就是下面这句话：单位时间内载流子的变化等于产生的载流子减去复合的载流子。
根据这个，我们考虑下面的情景：N型半导体，光注入+电场。对空穴而言，主要是三部分：
- 单位时间内空穴的变化量 --> $\frac{\partial p}{\partial t}$
- 空穴的产生量 --> 主要是来源于两部分，一部分是漂移来的空穴，一部分是扩散来的空穴 --> $-\frac{1}{q}\frac{\partial (J_p)_漂}{\partial t} -\frac{1}{q}\frac{\partial (J_p)_扩}{\partial t}=-\mu_pE\frac{\partial p}{\partial x}-\mu_pp\frac{\partial E}{\partial x}+D_p\frac{\partial ^2 p}{\partial x^2}$
- 空穴的复合量 --> 小注入条件下，满足$\frac{\Delta p}{\tau}$
上面主要考虑了漂移扩散和复合，如果还有其他外界因素引起的空穴变化，将其记为$g_p$，可得空穴连续性方程：
$$
\frac{\partial p}{\partial t}=-\mu_pE\frac{\partial p}{\partial x}-\mu_pp\frac{\partial E}{\partial x}+D_p\frac{\partial ^2 p}{\partial x^2}-\frac{\Delta p}{\tau}+g_p
$$
这个公式很长，不必死记硬背，搞清楚上面的三部分是什么之后，就很容易写出来了。在实际应用中，常常会出现其中的一部分可以忽略不计的情况，特殊情况特殊分析即可，一定要记住这句话：单位时间内载流子的变化等于产生的载流子减去复合的载流子。
至此，半导体物理部分就介绍完了，接下来就是器件部分了。器件部分主要分成两个主线：
- PN结 --> 双极型晶体管
- 金半接触 --> MOS电容 --> MOSFET
其中PN结和金半接触有很多类似的地方，因此，这两条主线也有着相应的联系。
