半导体器件物理(6)——连续性方程
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扩散运动

上节详细说明了非平衡载流子和复合效应。考虑一个场景,用恒定光照射N型半导体,那么在表面出非平衡载流子浓度将保持恒定值$\Delta p$,这就形成了浓度梯度,于是会发生扩散运动。当扩散达到稳定后,即每个位置的载流子浓度不发生改变。那么对于任意一个位置,单位时间内,这个位置主要发生两个过程:

  • 从前面的位置扩散过来的空穴导致空穴增加 --> $-\frac{dS_p(x)}{dx}=D_p\frac{d^2\Delta p(x)}{dx^2}$
  • 空穴复合导致空穴减少 --> $\frac{\Delta p}{x}$

这两个过程应该相等,于是可以得到一个二阶微分方程,求得通解为:

$$
\Delta p(x)=Aexp(-\frac{x}{L_p})+Bexp(\frac{x}{L_p})
$$

其中,$L_p=\sqrt{D_p\tau}$,这是扩散运动中很重要的一个物理量,称为扩散长度

下面主要讨论两种情况,而这两种情况也是我们最常见的情况。比如在双极型晶体管中,基极很薄,就对应着厚度远小于扩散长度的情况。

  1. 样品足够厚

利用无穷远处过剩载流子为0的边界条件,就可以求出最后的解,可以得到是一个指数分布,也符合预期。其中$L_p$和寿命类似,表示空穴在边扩散边复合的过程中,减少至原值的$1/e$时所扩散的距离。

  1. 样品厚度一定

假设样品厚度为W,并且设法在样品另一端将非平衡载流子全部引出,即在x=W处,非平衡载流子浓度为0。此时的解比较复杂。我们考虑一种特殊情况,$W\ll L_p$。此时求得的解为:

$$
\Delta p_0=(\Delta p)_0(1-\frac{x}{W})
$$

可以发现是一个线性分布。此时,可以求处扩散流密度为

$$
S_p=(\Delta p)_0\frac{D_p}{W}
$$

可以发现扩散流密度是一个常数,这表明非平衡载流子在样品中没有复合。这也符合我们的直观感受,宽度很小,载流子来不及复合就被抽走了。

扩散运动伴随着电子和空穴的定向运动,因此会形成扩散电流。基于上述分析,可以得到扩散电流密度:

$$
(J_p)_扩=-qD_p\frac{d\Delta p(x)}{dx}
$$

$$
(J_n)_扩=qD_n\frac{d\Delta n(x)}{dx}
$$

漂移扩散

至此,已经介绍完了漂移运动和扩散运动。它们对应的电流密度表达式如下:

$$
(J_n)_漂=q(n_0+\Delta n)\mu_n E=qn\mu_n E
$$

$$
(J_p)_漂=q(p_0+\Delta p)\mu_p E=qp\mu_p E
$$

$$
(J_p)_扩=-qD_p\frac{d\Delta p(x)}{dx}
$$

$$
(J_n)_扩=qD_n\frac{d\Delta n(x)}{dx}
$$

当非平衡载流子不均匀时,如果外加电场,那么非平衡载流子也会受到电场力发生运动。此时,半导体中将同时存在两种运动:漂移运动和扩散运动。此时电子和空穴的电流密度为:

$$
J_n=(J_n)_漂+(J_n)_扩=qn\mu_n E+qD_n\frac{d\Delta n(x)}{dx}
$$

$$
J_p=(J_p)_漂+(J_p)_扩=qp\mu_p E-qD_p\frac{d\Delta p(x)}{dx}
$$

爱因斯坦关系式

考虑一块处于热平衡状态的非均匀的n型半导体,由于其掺杂非均匀,则存在浓度梯度,将会发生扩散。扩散运动有使载流子分布均匀的趋势,使得半导体内部不再是处处保持电中性,因此体内将存在静电场$E$。这个电场导致载流子作漂移运动。由于在平衡条件下,不存在宏观电流,因此$J_n=0,J_p=0$。

根据上部分的内容,我们求出如下关系式,这就是爱因斯坦关系式。推导过程有兴趣的可以去看教材,这里就不写了。

$$
\frac{D_n}{\mu _n}=\frac{k_0T}{q}
$$

$$
\frac{D_p}{\mu _p}=\frac{k_0T}{q}
$$

这反映了其扩散系数和迁移率是存在一定的关系的,将半导体中最核心的两个运动过程联系了起来。

虽然上面的公式是在热平衡的条件下推导的,但是这个关系式对非平衡载流子也是成立的。这也说明了对于刚刚激发处的非平衡载流子,虽然具有和平衡载流子不同的速度和能量,但由于晶格的作用,在比寿命短的多的时间中已和平衡载流子没有什么区别。

连续性方程

通过上面的学习,可以知道扩散运动和漂移运动是同时存在的,可以根据这个来求出少子所遵守的运动方程,这也是半导体中的基本方程之一。

研究这个问题的核心,就是下面这句话:单位时间内载流子的变化等于产生的载流子减去复合的载流子

根据这个,我们考虑下面的情景:N型半导体,光注入+电场。对空穴而言,主要是三部分:

  • 单位时间内空穴的变化量 --> $\frac{\partial p}{\partial t}$
  • 空穴的产生量 --> 主要是来源于两部分,一部分是漂移来的空穴,一部分是扩散来的空穴 --> $-\frac{1}{q}\frac{\partial (J_p)_漂}{\partial t} -\frac{1}{q}\frac{\partial (J_p)_扩}{\partial t}=-\mu_pE\frac{\partial p}{\partial x}-\mu_pp\frac{\partial E}{\partial x}+D_p\frac{\partial ^2 p}{\partial x^2}$
  • 空穴的复合量 --> 小注入条件下,满足$\frac{\Delta p}{\tau}$

上面主要考虑了漂移扩散和复合,如果还有其他外界因素引起的空穴变化,将其记为$g_p$,可得空穴连续性方程:

$$
\frac{\partial p}{\partial t}=-\mu_pE\frac{\partial p}{\partial x}-\mu_pp\frac{\partial E}{\partial x}+D_p\frac{\partial ^2 p}{\partial x^2}-\frac{\Delta p}{\tau}+g_p
$$

这个公式很长,不必死记硬背,搞清楚上面的三部分是什么之后,就很容易写出来了。在实际应用中,常常会出现其中的一部分可以忽略不计的情况,特殊情况特殊分析即可,一定要记住这句话:单位时间内载流子的变化等于产生的载流子减去复合的载流子


至此,半导体物理部分就介绍完了,接下来就是器件部分了。器件部分主要分成两个主线:

  • PN结 --> 双极型晶体管
  • 金半接触 --> MOS电容 --> MOSFET

其中PN结和金半接触有很多类似的地方,因此,这两条主线也有着相应的联系。

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