半导体器件物理(4)——漂移和扩散运动
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热运动

即使没有外加电场,半导体中的载流子也并非是完全静止不动的,而是会做热运动。根据一些理论知识,可以求得热运动速率,这里就不作介绍了,只需要知道载流子在做热运动就行了。

如果没有外加电场,虽然载流子在不断进行运行,但是,这个运动是无规则的,从宏观上看,并没有按照一定方向流动,因此并不构成电流。半导体电流的产生主要是靠下面的两个运动,这两种运动是半导体载流子输运模型的核心。

热运动示意图

漂移运动

当半导体外加电场后,载流子会受到电场力的作用,然后做定向运动。载流子在电场力的作用下的这种运动称为漂移运动(Drift),定向运动的速度称为漂移速度漂移运动发生的条件是有电场存在

有外加电场时,载流子在电场力的作用下作加速运动,漂移速度应该不断增大,可我们从直观感觉出发,肯定不会是这样的。而且在一个确定的电场下,半导体的电流密度应该是确定的。而不是不断增大的。这就是影响漂移速度的因素——散射

散射

载流子在受到电场力做定向运动的时候,会不断的遭到散射,使得载流子的运动方向不断改变,从而减小了运动速度。在散射的作用下,电子的速度就不能够无限的积累起来。在电场力和散射的双重影响下,会达到一个平衡状态,载流子以一定的平均速度沿力的方向漂移,这个平均速度就是平均漂移速度。而半导体中的载流子为什么会遭到散射呢?

漂移运动示意图

根本原因是周期性势场的被破坏。如果半导体内部除了周期性势场外,又存在一个附加势场$\Delta V$,从而使周期性势场发生变化。这个附加势场就会使能带中的电子发生不同状态间的跃迁,对应着电子的运动状态发生了改变,即电子在运动过程中遭到了散射。主要的散射机构有两种,分别是离化杂质散射(库仑散射)和晶格振动散射(声子散射)

离化杂质散射

前面已经讲过,半导体掺杂后,会形成正电中心或负电中心。这个正电中心或负电中心就会产生库仑势场,当载流子运动到带电中心附近后,就会受到库仑势场的作用,运动方向发生改变。如下图所示。

离化杂质散射示意图

从这个散射机理中,我们可以直观的得出以下结论:

  • 掺杂浓度越高,带电中心越多,受到的离化杂质散射越强,即散射概率越大。
  • 当温度升高后,载流子会更快的越过带电中心,如下图中的绿线所示,受到的离化杂质散射越弱,即散射概率越小。
离化杂质散射受温度的影响

因此,离化杂质散射与掺杂浓度成正相关,与温度成负相关,理解了散射机理后,这就是显而易见的结论。书中有这么一个公式,描述了散射概率与杂质浓度和温度的关系:
$$
P_1 \propto N_i T^{-3/2}
$$

晶格振动散射

当温度大于0K后,可以说晶格获得了热能,晶格中的原子各自在其平衡位置附近作微振动。显然,这种振动就会产生附加势场,使得载流子发生散射。使用这种振动来描述散射是很不直观的,因此,引入了声子(Phonon)的概念,来描述这种晶格振动。因此,声子是描述晶格振动而抽象出的一个粒子,并不是真实存在的。具体有关声子的介绍大家可以去查询资料。

载流子在运动时,会遇到正在热振动的原子,于是受到了散射。在这个过程中,载流子与晶格振动交换了能量,这个过程我们就可以使用声子来描述,更加容易理解。如果载流子从晶格振动获得了能量,则称为吸收了声子,如果载流子交给晶格能量,则成为发射了声子。在发射声子或吸收声子的过程中,载流子的能量发生了改变,载流子所处的量子态发生了改变,相当于改变了运动方向,降低了载流子的运动速度。声子描述了载流子与晶格原子热振动能量之间的传递、交换的过程。载流子在运动的过程中,会不断的吸收声子或发射声子,这就是声子散射

根据上述分析,我们再来通过直观感觉来看待这个问题。当温度升高后,晶格振动变得更加剧烈,相当于有更多的声子。因此,载流子在运动的过程中,受到的声子散射增加。

在刘恩科老师编著的《半导体物理学》中,讲到了声学波和光学波。我并没有对这个进行深入的了解,只是有了一个基础的认识,下面是我的理解,不一定正确。晶格中原子的振动是由若干个不同的基本波动叠加而成的。对于一个晶胞,如果晶胞里只有一个原子,考虑它的波动,类比于我们描述一个原子的位置,需要三个基矢,确定一个三维坐标。这个可以类比过来,这个原子的波动可以由三个方向的基波,通过线性组合得到,每一个基波称为一个格波。因此,一个原子具有三个格波。那么对于一个晶胞中含有两个原子的晶体,比如硅、锗等,每个原子有三个,则两个原子有六个格波。这六个格波中,将频率最低的三个格波称为声学波,频率高的三个称为光学波。格波的能量是量子化的,频率越高,对应的量子能量也越高。而当与载流子发生能量交换后,表现出的就是格波能量发生改变。由于格波能量变化只能是一个量子能量的整数倍,这个量子就是声子。因此,我们可以知道,声学波声子的能量低,光学波声子的能量高,因此,在低温时,能量低,光学波声子很少,并且,如果载流子的能量也不高,小于声子能量,则无法发射声子,只有吸收声子的散射。所以光学波散射在低温时几乎不起作用,随着温度的升高,散射概率迅速增大。

迁移率

漂移运动是由电场引起的,由于散射的存在,使得载流子存在一个平均漂移速度。这两者存在一个关系,因此引入迁移率来表示电场与漂移速度的关系。迁移率定义:
$$
\bar{v}_d=\mu E
$$
从上式中可以看出,迁移率反映出了散射对漂移速度的影响。在相同条件下,散射越强,迁移率越低。因为电子带负电,一般应和电场反向,但我们习惯上迁移率都取正值,因此加一个绝对值。外加电场的主要目的是使载流子定向移动,从而产生电流。因此,我们需要关心电流密度与其他参数之间的关系。

我们在模电等科目中,使用最多的是电流,而非电流密度。首先来看电流密度的定义:通过垂直于电流方向的单位面积的电流,即:
$$
J=\frac{\Delta I}{\Delta s}
$$
如果电流密度均匀的情况下,那么$J=I/s$。使用$J=I/s$,$E=V/l$和欧姆定律,可以推导出欧姆定律的微分形式:
$$
J=\sigma E
$$
电流是单位时间内通过截面的电量,通过截面的电量是与载流子浓度、运动速度相关的。基于这个理论,我们可以推导出下面的式子(对于电子):
$$
J=-nq\bar{v}_d
$$
速度我们已经通过迁移率建立起了与电场的关系,因此可以得到:
$$
J=nq\mu E
$$
这个电流密度就是漂移电流。所以,可以得到:
$$
\sigma = nq\mu
$$
因此,迁移率与电导率是相关的。电导率又是电阻率的倒数。其实这两个参数有关系是必然的,电阻率反映出了导电性能,因此,载流子运动越快,遭到的散射越小,导电性能越好。而迁移率就是反映了载流子运动的速度,因此,他们是相关的。但由于迁移率与散射息息相关,属于微观层面,因此,在半导体物理中,几乎就不用电导率和电阻率了,而是频繁的使用迁移率。

扩散运动

半导体电流的组成除了漂移电流之外,还有扩散电流。扩散运动是由粒子浓度不均匀引起的,当存在浓度梯度时,就会发生扩散运动。如下图所示。扩散运动就比如将一滴墨水滴入水中,墨水中的分子发生了扩散。

扩散运动示意图

同漂移运动一样,我们引入一个物理量,表示扩散电流与浓度梯度的关系,即扩散系数。若用$S_p$表示空穴扩散流密度,则:
$$
S_p=-D_p\frac{d\Delta p(x)}{dx}
$$
其中$D_p$为空穴扩散系数。扩散系数反映了载流子扩散水平的大小。

总结一下,漂移运动是电场引起的,扩散运动是浓度梯度引起的。衡量漂移运动水平的物理量为迁移率,衡量扩散运动水平的物理量为扩散系数。

扩散运动似乎看着很简单,但是思考一下如何产生浓度梯度?在扩散的过程中会发生什么物理过程?

且看下节揭晓。

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