半导体器件物理(3)——费米能级及载流子分布
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热平衡状态

在一定的温度下,如果不考虑外界作用,电子会从不断热振动的晶格中获得一定的能量,会从一个能量态跃迁到更高的能量态,比如从价带跃迁到导带,产生空穴。与此同时,还存在着相反的过程,即从高的能量态跃迁到低的能量态,此时会放出一定的能量,从而使空穴减少(复合)。在一定温度下,这两个相反的过程处于一个动态平衡状态,这就是热平衡状态。半导体的特性与温度是息息相关的,因此我们需要研究其载流子浓度随温度的变化关系。

费米能级

我们知道,温度是反映在能量上的,即温度越高,半导体晶格振动越剧烈,电子可以获得更多的能量。因此,我们在能量空间上研究这个问题。

首先是反应能量状态的参数,即状态密度。关于状态密度的计算,这里就不多说了,我也不会算。要知道它表示的含义,即某个能量E附近每单位能量间隔内的量子态数。也就是E-k图中,每单位能量间隔内k的个数。如果每个量子态都被电子占据,那么能量E对应的电子数为E处的状态密度。但事实是量子态并不一定被电子占据,我们需要知道哪些量子态被占据了。而描述这个的就是费米分布函数

费米分布给出了能量为E的一个电子态被一个电子占据的概率,这是一个统计分布函数。每个电子肯定会占据一个能量态,因此,对此函数进行积分,得到的结果就是电子个数。先不管费米分布函数,我们先考虑一种特殊情况,在绝对零度下,对于本征半导体,此时价带为满带,导带为空带,因此,对于能量$E_V$,量子态都被占据,且不会改变,因此,概率为1。而对于$E_C$,此时不会有电子占据,概率为0。当温度升高后,电子会发生跃迁,因此,$E_V$处的量子态处的电子可能会跃迁,概率将不再是1,而$E_C$处的量子态有可能有跃迁的电子填充,概率将不再是0。因此,我们可以推测,从$E_C$到$E_V$,电子占据的概率是越来越高的,对应着一个变化曲线,这个曲线就是费米分布函数。在这里可能会有疑惑,$E_C$到$E_V$之间不是没有能带吗?这是因为费米分布反应的是电子占据量子态的水平,而在半导体中,只是不存在这种量子态而已,这并不冲突。而且通过掺杂也会在禁带中引入能级。

$$
f(E)=\frac{1}{1+exp(\frac{E-E_F}{k_0T})}
$$

在这个概率变化的过程中,我们最关心概率为50%对应的能量,低于这个能量的能级大概率会被占据,而高于这个能量的能级大概率不被占据,尤其是在绝对零度时,这个能量以下的能带被完全占据,为满带,这个能量以上的完全不被占据,为空带。这个概率为50%对应的能级为费米能级,通常用$E_F$来表示。

从费米分布的函数中不难看出,其概率的变化趋势为指数变化,衡量指数变化快慢的参数为温度T。当温度升高时,对于大于$E_F$的能级,占据概率增加,因此,反映出了电子更容易跃迁到高能量态。

化学势是在系统中加入单位数量的电子引起系统的自由能变化,而在半导体中,那么这个电子将会跑到费米能级上,因此能量的变化就是费米能级对应的能量,因此,费米能级就是系统的化学势。而处于热平衡系统的有统一的化学势,所以处于热平衡状态的电子系统有统一的费米能级。(我没学过化学势的概念,只能做一个简单直观的理解。但是要明白费米能级的含义)

通过上述分析,我们还可以知道,费米能级距离导带越近,那么导带中电子占据的概率就越大,自由电子就越多。因此,可以推断,对于N型半导体,一般情况下,掺杂浓度越高,费米能级距离导带越近。(注意:电子占据杂质能级的概率略有不同,在考虑非完全电离的时候需要考虑到

费米分布函数描述的是电子占据的概率,那么反过来想,$1-f(E)$就是空穴占据的概率。可以把视角转向空穴的角度,再思考一下费米能级的含义,可以更好的理解费米能级。

考虑一下导体中的费米能级,由于即使不跃迁,导带中就存在电子。因此,其费米能级就位于导带中。

玻尔兹曼分布函数

这个没什么理解上的难度,只是对费米分布函数进行了个近似。做近似最关键的就是要知道近似需要满足的条件,玻尔兹曼分布函数的近似条件就是:$E-E_F\gg k_0T$。对这个条件进行分析,我们考虑导带底中的电子数,即令$E=E_C$,可以明白这个条件的含义:当费米能级与导带底的距离远大于$k_0T$时,就可以使用这个近似,即费米能级不要离导带底那么近,评判标准为$k_0T$。经过近似后,电子占据能量为E的量子态的概率由指数因子$exp(-\frac{E}{k_0T})$所决定,系数为$exp\frac{E_F}{k_0T}$。

从这个近似,我们可以推断一件事情。在相同的温度下,不考虑特殊情况,对于两个费米能级不同的Si(比如说掺杂浓度不同),那么这两个Si在同一个$E_C$下的电子数目的变化比例是多少呢?思考一下就能明白,变化了一个指数关系,即$exp(\frac{\Delta E_F}{k_0T})$。这个是很有用的,很方便我们之后求浓度。

在上一部分的最后,提到:对于N型半导体,一般情况下,掺杂浓度越高,费米能级距离导带越近。根据这个,考虑近似条件,我们可以推断,玻尔兹曼分布函数并不适用于重掺杂的情况。

半导体的载流子浓度

知道了状态密度和分布函数,就可以求出载流子浓度的表达式了。这里就不写计算过程和结果了,理解了状态密度和费米分布,剩下的就是计算的内容了,最重要的是要对费米分布有一个清晰的认识。

在计算的时候,引入了有效状态密度的概念。在求电子浓度时,为导带有效状态密度。当电子从价带跃迁到导带时,可能会跃迁到$E_C$附近的多个能级,这样计算会很麻烦。如果我们将$E_C$附近的多个能级对应的所有状态密度等效成集中在$E_C$时的状态密度,这样利用$E_C$处的占据概率,很容易就求得电子浓度了。占据概率使用玻尔兹曼分布函数,这个公式就很容易记了,即有效状态密度*占据概率。

对于本征半导体,其费米能级近似位于禁带中央,利用上一小节提到的一个例子(对于两个费米能级不同的Si,这两个Si电子数目的变化比例),可以知道在完全电离的情况下,对于N型半导体,其相对于掺杂前变化了$exp(\frac{\Delta E_F}{k_0T})$。而本征半导体的费米能级为禁带中央,所以$\Delta E_F=E_F-E_g$,电子浓度为$n_iexp(\frac{E_F-E_G}{k_0T})$。这样就不用特意记公式了,在理解了之后,公式就自然而然记住了。

以上都是考虑的杂质完全电离的情况,但杂质并不一定会完全电离。假如为N型掺杂,这就需要考虑电子占据杂质能级的概率了,再根据掺杂浓度乘以概率得到杂质能级上的电子浓度,即未电离的电子浓度,进而得到电离的电子浓度,然后根据电中性条件就可以求出其浓度了,剩下的就是计算了,这里就不写了。

当掺杂浓度很大时,玻尔兹曼近似就不满足要求了,这是必须使用费米分布函数。这种情况称为载流子的简并化,这里就不作介绍了,只是把玻尔兹曼分布换成了费米分布了而已。但是,简并半导体与非简并半导体的性质时很不同的,感兴趣的可以去了解一下。

对于掺杂半导体,当温度很高时,此时本征电离出的电子将会超过掺杂浓度,本征激发逐渐占据主导地位。当达到一定温度后,就类似于本征半导体。

禁带变窄效应

以N型半导体为例,当掺杂浓度很大时,杂质原子间比较靠近,导致波函数发生了交叠,从而使能级分裂扩展成能带。此时杂质能带距离导带很近,可能会与导带连接,使得导带扩展,从而使得禁带变窄,对少数载流子浓度产生极大的影响。禁带变窄后,有效本征载流子浓度会发生指数级的变化,有如下公式:
$$
n_{ie}^2=n_{i0}^2exp\frac{\Delta E_g}{k_0T}
$$

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评论

  1. Daniel
    6 月前
    2023-11-04 18:56:33

    费米能级的意义是提供一个已知的且稳定的参考点,然后利用类似于玻尔兹曼因子那套做法,求出任意能量下的分布几率。此外费米能级出现在禁带并不意外,因为fermi-Dirac分别是利用统计热力学那套手法得出的分布,那个时候可能连允带禁带的概念都没有。禁带是基于求解波动方程得到的,所以需要用概率密度乘态密度得出电子浓度

    • 博主
      Daniel
      6 月前
      2023-11-05 21:54:37

      👍对的

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