热平衡状态

在一定的温度下，如果不考虑外界作用，电子会从不断热振动的晶格中获得一定的能量，会从一个能量态跃迁到更高的能量态，比如从价带跃迁到导带，产生空穴。与此同时，还存在着相反的过程，即从高的能量态跃迁到低的能量态，此时会放出一定的能量，从而使空穴减少（复合）。在一定温度下，这两个相反的过程处于一个动态平衡状态，这就是热平衡状态。半导体的特性与温度是息息相关的，因此我们需要研究其载流子浓度随温度的变化关系。

费米能级

我们知道，温度是反映在能量上的，即温度越高，半导体晶格振动越剧烈，电子可以获得更多的能量。因此，我们在能量空间上研究这个问题。

首先是反应能量状态的参数，即状态密度。关于状态密度的计算，这里就不多说了，我也不会算。要知道它表示的含义，即某个能量E附近每单位能量间隔内的量子态数。也就是E-k图中，每单位能量间隔内k的个数。如果每个量子态都被电子占据，那么能量E对应的电子数为E处的状态密度。但事实是量子态并不一定被电子占据，我们需要知道哪些量子态被占据了。而描述这个的就是费米分布函数。

费米分布给出了能量为E的一个电子态被一个电子占据的概率，这是一个统计分布函数。每个电子肯定会占据一个能量态，因此，对此函数进行积分，得到的结果就是电子个数。先不管费米分布函数，我们先考虑一种特殊情况，在绝对零度下，对于本征半导体，此时价带为满带，导带为空带，因此，对于能量$E_V$，量子态都被占据，且不会改变，因此，概率为1。而对于$E_C$，此时不会有电子占据，概率为0。当温度升高后，电子会发生跃迁，因此，$E_V$处的量子态处的电子可能会跃迁，概率将不再是1，而$E_C$处的量子态有可能有跃迁的电子填充，概率将不再是0。因此，我们可以推测，从$E_C$到$E_V$，电子占据的概率是越来越高的，对应着一个变化曲线，这个曲线就是费米分布函数。在这里可能会有疑惑，$E_C$到$E_V$之间不是没有能带吗？这是因为费米分布反应的是电子占据量子态的水平，而在半导体中，只是不存在这种量子态而已，这并不冲突。而且通过掺杂也会在禁带中引入能级。

$$
f(E)=\frac{1}{1+exp(\frac{E-E_F}{k_0T})}
$$

在这个概率变化的过程中，我们最关心概率为50%对应的能量，低于这个能量的能级大概率会被占据，而高于这个能量的能级大概率不被占据，尤其是在绝对零度时，这个能量以下的能带被完全占据，为满带，这个能量以上的完全不被占据，为空带。这个概率为50%对应的能级为费米能级，通常用$E_F$来表示。

从费米分布的函数中不难看出，其概率的变化趋势为指数变化，衡量指数变化快慢的参数为温度T。当温度升高时，对于大于$E_F$的能级，占据概率增加，因此，反映出了电子更容易跃迁到高能量态。

化学势是在系统中加入单位数量的电子引起系统的自由能变化，而在半导体中，那么这个电子将会跑到费米能级上，因此能量的变化就是费米能级对应的能量，因此，费米能级就是系统的化学势。而处于热平衡系统的有统一的化学势，所以处于热平衡状态的电子系统有统一的费米能级。（我没学过化学势的概念，只能做一个简单直观的理解。但是要明白费米能级的含义）

通过上述分析，我们还可以知道，费米能级距离导带越近，那么导带中电子占据的概率就越大，自由电子就越多。因此，可以推断，对于N型半导体，一般情况下，掺杂浓度越高，费米能级距离导带越近。（注意：电子占据杂质能级的概率略有不同，在考虑非完全电离的时候需要考虑到）

费米分布函数描述的是电子占据的概率，那么反过来想，$1-f(E)$就是空穴占据的概率。可以把视角转向空穴的角度，再思考一下费米能级的含义，可以更好的理解费米能级。

考虑一下导体中的费米能级，由于即使不跃迁，导带中就存在电子。因此，其费米能级就位于导带中。

玻尔兹曼分布函数

这个没什么理解上的难度，只是对费米分布函数进行了个近似。做近似最关键的就是要知道近似需要满足的条件，玻尔兹曼分布函数的近似条件就是：$E-E_F\gg k_0T$。对这个条件进行分析，我们考虑导带底中的电子数，即令$E=E_C$，可以明白这个条件的含义：当费米能级与导带底的距离远大于$k_0T$时，就可以使用这个近似，即费米能级不要离导带底那么近，评判标准为$k_0T$。经过近似后，电子占据能量为E的量子态的概率由指数因子$exp(-\frac{E}{k_0T})$所决定，系数为$exp\frac{E_F}{k_0T}$。

从这个近似，我们可以推断一件事情。在相同的温度下，不考虑特殊情况，对于两个费米能级不同的Si（比如说掺杂浓度不同），那么这两个Si在同一个$E_C$下的电子数目的变化比例是多少呢？思考一下就能明白，变化了一个指数关系，即$exp(\frac{\Delta E_F}{k_0T})$。这个是很有用的，很方便我们之后求浓度。

在上一部分的最后，提到：对于N型半导体，一般情况下，掺杂浓度越高，费米能级距离导带越近。根据这个，考虑近似条件，我们可以推断，玻尔兹曼分布函数并不适用于重掺杂的情况。

半导体的载流子浓度

知道了状态密度和分布函数，就可以求出载流子浓度的表达式了。这里就不写计算过程和结果了，理解了状态密度和费米分布，剩下的就是计算的内容了，最重要的是要对费米分布有一个清晰的认识。

在计算的时候，引入了有效状态密度的概念。在求电子浓度时，为导带有效状态密度。当电子从价带跃迁到导带时，可能会跃迁到$E_C$附近的多个能级，这样计算会很麻烦。如果我们将$E_C$附近的多个能级对应的所有状态密度等效成集中在$E_C$时的状态密度，这样利用$E_C$处的占据概率，很容易就求得电子浓度了。占据概率使用玻尔兹曼分布函数，这个公式就很容易记了，即有效状态密度*占据概率。

对于本征半导体，其费米能级近似位于禁带中央，利用上一小节提到的一个例子（对于两个费米能级不同的Si，这两个Si电子数目的变化比例），可以知道在完全电离的情况下，对于N型半导体，其相对于掺杂前变化了$exp(\frac{\Delta E_F}{k_0T})$。而本征半导体的费米能级为禁带中央，所以$\Delta E_F=E_F-E_g$，电子浓度为$n_iexp(\frac{E_F-E_G}{k_0T})$。这样就不用特意记公式了，在理解了之后，公式就自然而然记住了。

以上都是考虑的杂质完全电离的情况，但杂质并不一定会完全电离。假如为N型掺杂，这就需要考虑电子占据杂质能级的概率了，再根据掺杂浓度乘以概率得到杂质能级上的电子浓度，即未电离的电子浓度，进而得到电离的电子浓度，然后根据电中性条件就可以求出其浓度了，剩下的就是计算了，这里就不写了。

当掺杂浓度很大时，玻尔兹曼近似就不满足要求了，这是必须使用费米分布函数。这种情况称为载流子的简并化，这里就不作介绍了，只是把玻尔兹曼分布换成了费米分布了而已。但是，简并半导体与非简并半导体的性质时很不同的，感兴趣的可以去了解一下。

对于掺杂半导体，当温度很高时，此时本征电离出的电子将会超过掺杂浓度，本征激发逐渐占据主导地位。当达到一定温度后，就类似于本征半导体。

禁带变窄效应

以N型半导体为例，当掺杂浓度很大时，杂质原子间比较靠近，导致波函数发生了交叠，从而使能级分裂扩展成能带。此时杂质能带距离导带很近，可能会与导带连接，使得导带扩展，从而使得禁带变窄，对少数载流子浓度产生极大的影响。禁带变窄后，有效本征载流子浓度会发生指数级的变化，有如下公式：
$$
n_{ie}^2=n_{i0}^2exp\frac{\Delta E_g}{k_0T}
$$