在电流的公式中，$I=WQv$，体效应体现了对$Q$的修正。那么速度呢？

速度饱和

在基本的IV模型中，在夹断区中，反型电子数为0。如果要保证有一个有限的电流，那就要求载流子速度无穷大。但是这显然是不可能的。因此，我们就设置一个有限的速度。

在学迁移率的时候，我们知道$v=\mu \mathscr{E}$。电场越大，载流子的速度就越大，但显然这不是能够一直增大的。当载流子能量超过光学声子能量时，它将产生光学声子同时失去大部分速度。因此，漂移速度不会超过一个特定值，这个速度上限称为饱和速度。

$v-\mathscr{E}$曲线变缓称为速度饱和，可以近似写为：

$$
v=\frac{\mu_{\mathrm{ns}}\mathscr{E}}{1+\frac{\mathscr{E}}{\mathscr{E}_{\mathrm{sat}}}}
$$

当$\mathscr{E}\ll \mathscr{E}_{\mathrm{sat}}$时，近似为$v=\mu \mathscr{E}$。而当$\mathscr{E}\gg \mathscr{E}_{\mathrm{sat}}$时，近似为常数。显然，这是我们不希望的。

速度饱和下的IV模型

我们只需要将公式里的$I=WQv$中的速度换成修改后的速度即可。

$$
\begin{gathered}
I_{\mathrm{ds}}=W C_{\mathrm{oxe}}\left(V_{\mathrm{gs}}-m V_{\mathrm{cs}}-V_{\mathrm{t}}\right) \frac{\mu_{\mathrm{ns}} \mathrm{d} V_{\mathrm{cs}} / \mathrm{d} x}{1+\frac{\mathrm{d} V_{\mathrm{cs}}}{\mathrm{d} x} / \mathscr{E}_{\mathrm{sat}}} \\
\int_0^L I_{\mathrm{ds}} \mathrm{d} x=\int_0^{V_{\mathrm{cs}}}\left[W C_{\mathrm{oxe}} \mu_{\mathrm{ns}}\left(V_{\mathrm{gs}}-m V_{\mathrm{cs}}-V_{\mathrm{t}}\right)-I_{\mathrm{ds}} / \mathscr{E}_{\mathrm{sat}}\right] \mathrm{d} V_{\mathrm{cs}} \\
I_{\mathrm{ds}}=\frac{\frac{W}{L} C_{\mathrm{oxe}} \mu_{\mathrm{ns}}\left(V_{\mathrm{gs}}-V_{\mathrm{t}}-\frac{m}{2} V_{\mathrm{ds}}\right) V_{\mathrm{ds}}}{1+\frac{V_{\mathrm{ds}}}{\mathscr{E}_{\mathrm{sat}} L}}
\end{gathered}
$$

可以发现，分子部分就是基本模型中的IV特性。这个式子也成为长沟的电流电压模型。其中，分子部分体现了速度饱和效应对电流的减小，这个因子在$V_{ds}$很小或者$L$很大的时候，可以忽略不计。可以求得饱和电压：

$$
V_{\mathrm{dsat}}=\frac{2\left(V_{\mathrm{gs}}-V_{\mathrm{t}}\right) / m}{1+\sqrt{1+2\left(V_{\mathrm{gs}}-V_{\mathrm{t}}\right) / m{\mathscr{E}_{\mathrm{sat}} L}}}
$$

可以发现，这个式子是很复杂的。因此，这个其实并不常用。那么如何简化呢？考虑下面这个速度模型，拟合效果可能会比之前更好。将速度设置为分段模型。

$$
\begin{array}{ll}
v=\frac{\mu_{ns} \mathscr{E}}{1+\mathscr{E}/ \mathscr{E}_{\text {sat }}} & \mathscr{E} \leq \mathscr{E}_{\text {sat }} \\
v=v_{\text {sat }} & \mathscr{E} \geq \mathscr{E}_{\text {sat }}
\end{array}
$$

交界点连续，可以求出饱和电场和饱和速度之间的关系：

$$
\mathscr{E}_{\mathrm{sat}}=2v_{\mathrm{sat}}/\mu_{\mathrm{ns}}
$$

当沟道夹断后，会发生速度饱和效应。当$V=V_{\mathrm{dsat}}$时，可以利用上面速度的第一个公式，得到上面那个长沟的IV特性的公式。而当进入饱和区后，利用速度的第二个公式，也可以求出电流公式，如下：

$$
I_{\mathrm{ds}}=WC_{\mathrm{oxe}}(V_g-V_t-mV_{\mathrm{dsat}})v_{\mathrm{sat}}
$$

同样的，交界点处值相等，可以解得：

$$
\frac{1}{V_{\mathrm{dsat}}}=\frac{m}{V_{\mathrm{gs}}-V_\mathrm{t}}+\frac{1}{\mathscr{E}_{\mathrm{sat}}L}
$$

这个式子是十分有趣的，右边的两项，第一项为基本模型中的饱和电压，第二项为饱和电场时的电压，这个形式很类似于电阻并联的公式。

进而我们可以得出饱和电流，如下：

$$
I_{\mathrm{dsat}}=\frac{长沟I_{\mathrm{dsat}}}{1+\frac{V_{\mathrm{gs}}-V_t}{m\mathscr{E}_{\mathrm{sat}}L}}
$$

下面看两种情况：

长沟或$V_{\mathrm{gs}}$较小

长沟对应的是$L$，$V_{\mathrm{gs}}$较小说明$\mathscr{E}_{sat}$较小，此时$\mathscr{E}_{sat}L\gg V_{gs}-V_t$，$V_{dsat}=(V_{gs}-V_t)/m$，这就是我们之前讨论的情况。

短沟道

此时，$\mathscr{E}_{sat}L\ll V_{gs}-V_t$，$V_{dsat}=\mathscr{E}_{sat}L$，可以得到饱和电流：

$$
I_{dsat}=Wv_{sat}C_{oxe}(V_{gs}-V_t-m\mathscr{E}_{sat}L)
$$

可以发现，此时饱和电流正比于$V_{gs}-V_t$，而不是长沟道中的$(V_{gs}-V_t)^2$，并且正比于$L$，而长沟道正比于$1/L$，故短沟道对L没有那么敏感。

寄生源漏电阻

源漏区都存在寄生电阻。引入寄生电阻后，栅极电压就减小了，减少了$R_s\cdot I_{ds}$。再代入最初的公式，可以求出

$$
I_{\mathrm{dsat}}=\frac{I_{\mathrm{dsat} 0}}{1+R_{\mathrm{s}} I_{\mathrm{dsat} 0} /\left(V_{\mathrm{gs}}-V_{\mathrm{t}}\right)}
$$

其中，$I_{dsat0}$为不考虑寄生电阻时的饱和电流。饱和电流会因为寄生电阻的影响而显著减小。

同时，串联电阻也使得饱和电压增加：

$$
V_{\mathrm{dsat}}=V_{\mathrm{sat} 0}+I_{\mathrm{dsat}}\left(R_{\mathrm{s}}+R_{\mathrm{d}}\right)
$$

速度过冲

当沟道长度与平均自由程相比拟或更小时，电子还没来得及碰撞就运动过去了，因此速度大大提高，这就是速度过冲效应。此时，迁移率的概念是不准确的。

$$
I_{dsat}=Wv_{sat}C_{oxe}(V_{gs}-V_t-m\mathscr{E}_{sat}L)
$$

此时这个公式是十分有用的，因为它不含迁移率。饱和速度由于速度过冲效应大大提高，但是，会受到其他因素的影响。

就和化学反应一样，速度速度不仅仅取决于物质转换的速度，还取决于反应物的浓度。此时源端的载流子速度就成了限制因素，在源端，速度受限于热运动，载流子以此速度从源端进入沟道，这也称为源注入速度极限。

饱和电流的公式为：

$$
I_{\mathrm{dsat}}=WBv_{\mathrm{thx}}Q_{\mathrm{inv}}=WBv_{\mathrm{thx}}C_{\mathrm{oxe}}(V_{gs}-V_t)
$$

$v_{thx}$为热运动速度在x方向上的分量，B为实际晶体管中被漏区捕获的部分，注入的其他载流子被反射回源区。B的典型值为0.5.

输出电导

在之前讨论的情况中，当$V_{ds}>V_{dsat}$后，处于完全饱和状态，即电流保持不变。但是和BJT一样，这一段直线会发生上翘，有一个输出电阻或输出电导。至于原因放在后面会说，这里就先默认它存在，只说明它的影响。

输出电导定义为：

$$
g_{\mathrm{ds}}=\frac{dI_{\mathrm{dsat}}}{dV_{\mathrm{ds}}}
$$

考虑下面这个放大电路，首先将NMOS偏置在饱和区，然后输入一个小信号$v_{\mathrm{in}}$。根据电路知识，可以得到：

$$
\begin{aligned}
i_{\mathrm{ds}} &=g_{\text {msat }} \cdot v_{\mathrm{gs}}+g_{\mathrm{ds}} \cdot v_{\mathrm{ds}} \\
&=g_{\text {msat }} \cdot v_{\mathrm{in}}+g_{\mathrm{ds}} \cdot v_{\text {out }}
\end{aligned}
$$

$$
v_{\mathrm{out}}=-R\cdot i_{\mathrm{ds}}
$$

联立得：

$$
v_{\mathrm{out}}=\frac{-g_{\mathrm{msat}}}{g_{\mathrm{ds}}+1 / R} \times v_{\mathrm{in}}
$$

这个系数就是放大倍数，与电阻R有关。即使这个电阻趋于无穷大，最大的电压增益也不超过$g_{\mathrm{msat}}/g_{\mathrm{ds}}$。从这个式子就可以看出，输出电导越小越好。