半导体器件物理(20)——MOSFET的IV特性
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基本IV模型

同之前一样,分析电流依旧是需要知道载流子分布。上一篇的最后得到了反型层电子的分布。为了分析方便,忽略掉式中的负号,可以推导处电流公式,推导过程如下:

$$
\begin{aligned}
I_{\mathrm{ds}}&=W\cdot Q_\mathrm{inv}(x) \cdot v \\
&= W\cdot Q_\mathrm{inv}(x) \cdot \mu_{\mathrm{ns}}\mathscr{E} \\
&= WC_{\mathrm{oxe}}(V_{\mathrm{gs}}-mV_{\mathrm{cs}}-V_{\mathrm{t}})\mu_{\mathrm{ns}}dV_{\mathrm{cs}}/dx
\end{aligned}
$$

对其进行积分可得:

$$
\int_{0}^{L}I_{\mathrm{ds}}dx=\int_{0}^{V_{\mathrm{ds}}}WC_{\mathrm{oxe}}(V_{\mathrm{gs}}-mV_{\mathrm{cs}}-V_{\mathrm{t}})\mu_{\mathrm{ns}}dV_{\mathrm{cs}}
$$

电流是处处相等的,故:

$$
I_\mathrm{ds}L=WC_\mathrm{oxe}\mu_{\mathrm{ns}}(V_\mathrm{gs}-V_t-\frac{m}{2}V_{\mathrm{ds}})V_{\mathrm{ds}}
$$

$$
I_\mathrm{ds}=\frac{W}{L}C_\mathrm{oxe}\mu_{\mathrm{ns}}(V_\mathrm{gs}-V_t-\frac{m}{2}V_{\mathrm{ds}})V_{\mathrm{ds}}
$$

这个式子是很容易记的,可以将其分为三部分,分别对应最开始公式里的$WQv$。其中,W就对应着W,$C_\mathrm{oxe}(V_\mathrm{gs}-V_t-\frac{m}{2}V_{\mathrm{ds}})$对应的$Q_{\mathrm{inv}}$,可以理解为平均电荷,最后$\mu_\mathrm{ns}V_{\mathrm{ds}}/L$,就是平均速度。

工作状态

首先要明确的是,上面的讨论都是基于开启状态的,也就是建立在$V_g>V_t$的基础之上的。我们知道,栅极电压控制的是器件的开关状态,而漏极电压控制的是器件的工作状态。下面我们就探索其工作状态。

$V_{ds}$很小时——线性区

此时,$\frac{m}{2}V_{\mathrm{ds}}$相比前两项很小,可以忽略不计,可以得到:

$$
I_\mathrm{ds}=\frac{W}{L}C_\mathrm{oxe}\mu_{\mathrm{ns}}(V_\mathrm{gs}-V_t)V_{\mathrm{ds}}
$$

可以发现电流与电压成正比,此时可以将MOSFET看成一个电阻,可以称为线性区。

饱和电压

我们从IV公式上可以看出,是一个二次函数,因此存在一个最高点。对其求导,令导数为0,可以得到:

$$
\frac{\mathrm{d} I_{\mathrm{ds}}}{\mathrm{d} V_{\mathrm{ds}}}=0=\frac{W}{L} C_{\mathrm{ox}} \mu_{\mathrm{ns}}\left(V_{\mathrm{gs}}-V_{\mathrm{t}}-m V_{\mathrm{ds}}\right)
$$

记此时电压为$V_\mathrm{dsat}$,称为饱和漏极电压。可以得到:

$$
V_{\mathrm{dsat}}=\frac{V_{\mathrm{gs}}-V_{\mathrm{t}}}{m}
$$

$$
I_{\mathrm{dsat}}=\frac{W}{2mL}C_{\mathrm{oxe}}\mu_{\mathrm{ns}}(V_{\mathrm{gs}}-V_t)^2
$$

饱和区

$V_{\mathrm{ds}}>V_{\mathrm{dsat}}$后,$I_{\mathrm{ds}}$将保持不变。这个是什么原因呢?

当$V_{\mathrm{ds}}=V_{\mathrm{dsat}}$时,通过计算可以知道在$x=L$处,$Q_{\mathrm{inv}}=0$,也就是说这里没有反型层电荷了,也就是沟道区发生了夹断。$V_{\mathrm{ds}}>V_{\mathrm{dsat}}$,沟道仍处于夹断状态,夹断点向左移。在这里我们不考虑由于夹断导致的沟道长度的减小,从之前的分析中不难看出,从源极到夹断点,$V_{\mathrm{cs}}(x)$和$Q_{\mathrm{inv}}(x)$不变,那么电流也不会变化。相比于饱和临界状态,此时夹断点右侧有一个没有反型层电荷的区域,可以认为是耗尽区,比饱和电压多出来的一部分几乎全部降落在这个区域了。那么为什么没有反型层电荷还有电流呢?因为夹断区有一个很大的电场。

这样理解可能没那么直观,电势和重力势能很像,我们可以联想到水流。

如上图所示,我们把它当成一个水流。想象水从左边流下,对比左右两个图,右边图的区别是在末端有一个瀑布。我们知道,水的流动状态与当前的坡度有关系,最后的瀑布会对前面的状态产生影响吗?显然并不会。因此,这两种情况下,水流是完全相等的。在MOSFET中也是一样,前面是电势的分布,当电压升高后,前面的这一部分区域的电势分布是不变的,唯一改变的是在最后形成了一个“瀑布”,也就是前面所说的多余的电压都降落在了夹断区上。因此,电流是不变的。

利用饱和区的电流公式,也可以求出饱和区电势的分布。在电流积分中,将上限分别换成$x$和$V_{cs}$,可以得到:

$$
\int_{0}^{x}I_{\mathrm{ds}}dx=\int_{0}^{V_{\mathrm{cs}}}WC_{\mathrm{oxe}}(V_{\mathrm{gs}}-mV_{\mathrm{cs}}-V_{\mathrm{t}})\mu_{\mathrm{ns}}dV_{\mathrm{cs}}
$$

$$
I_\mathrm{ds}x=WC_\mathrm{oxe}\mu_{\mathrm{ns}}(V_\mathrm{gs}-V_t-\frac{m}{2}V_{\mathrm{cs}})V_{\mathrm{cs}}
$$

由于饱和区电流等于$I_{\mathrm{dsat}}$,将饱和电流代入进去,化简可得:

$$
V_{\mathrm{cs}}=\frac{V_{\mathrm{gs}}-V_{\mathrm{t}}}{m}(1-\sqrt{1-\frac{x}{L}})
$$

跨导

对于MOSFET,输入电压往往是从栅极输入,输出电流为漏极电流,因此跨导定义为:

$$
g_m \equiv dI_{ds}/dV_{gs}|_{V_{ds}}
$$

跨导反映了晶体管对输入电压的敏感度,一般希望其越大越好。对于饱和区,可得:

$$
g_{\mathrm{msat}}=\frac{W}{mL}C_{\mathrm{oxe}}\mu_{\mathrm{ns}}(V_{\mathrm{gs}}-V_{\mathrm{t}})
$$

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