基本IV模型

同之前一样，分析电流依旧是需要知道载流子分布。上一篇的最后得到了反型层电子的分布。为了分析方便，忽略掉式中的负号，可以推导处电流公式，推导过程如下：

$$
\begin{aligned}
I_{\mathrm{ds}}&=W\cdot Q_\mathrm{inv}(x) \cdot v \\
&= W\cdot Q_\mathrm{inv}(x) \cdot \mu_{\mathrm{ns}}\mathscr{E} \\
&= WC_{\mathrm{oxe}}(V_{\mathrm{gs}}-mV_{\mathrm{cs}}-V_{\mathrm{t}})\mu_{\mathrm{ns}}dV_{\mathrm{cs}}/dx
\end{aligned}
$$

对其进行积分可得：

$$
\int_{0}^{L}I_{\mathrm{ds}}dx=\int_{0}^{V_{\mathrm{ds}}}WC_{\mathrm{oxe}}(V_{\mathrm{gs}}-mV_{\mathrm{cs}}-V_{\mathrm{t}})\mu_{\mathrm{ns}}dV_{\mathrm{cs}}
$$

电流是处处相等的，故：

$$
I_\mathrm{ds}L=WC_\mathrm{oxe}\mu_{\mathrm{ns}}(V_\mathrm{gs}-V_t-\frac{m}{2}V_{\mathrm{ds}})V_{\mathrm{ds}}
$$

$$
I_\mathrm{ds}=\frac{W}{L}C_\mathrm{oxe}\mu_{\mathrm{ns}}(V_\mathrm{gs}-V_t-\frac{m}{2}V_{\mathrm{ds}})V_{\mathrm{ds}}
$$

这个式子是很容易记的，可以将其分为三部分，分别对应最开始公式里的$WQv$。其中，W就对应着W，$C_\mathrm{oxe}(V_\mathrm{gs}-V_t-\frac{m}{2}V_{\mathrm{ds}})$对应的$Q_{\mathrm{inv}}$，可以理解为平均电荷，最后$\mu_\mathrm{ns}V_{\mathrm{ds}}/L$，就是平均速度。

工作状态

首先要明确的是，上面的讨论都是基于开启状态的，也就是建立在$V_g>V_t$的基础之上的。我们知道，栅极电压控制的是器件的开关状态，而漏极电压控制的是器件的工作状态。下面我们就探索其工作状态。

$V_{ds}$很小时——线性区

此时，$\frac{m}{2}V_{\mathrm{ds}}$相比前两项很小，可以忽略不计，可以得到：

$$
I_\mathrm{ds}=\frac{W}{L}C_\mathrm{oxe}\mu_{\mathrm{ns}}(V_\mathrm{gs}-V_t)V_{\mathrm{ds}}
$$

可以发现电流与电压成正比，此时可以将MOSFET看成一个电阻，可以称为线性区。

饱和电压

我们从IV公式上可以看出，是一个二次函数，因此存在一个最高点。对其求导，令导数为0，可以得到：

$$
\frac{\mathrm{d} I_{\mathrm{ds}}}{\mathrm{d} V_{\mathrm{ds}}}=0=\frac{W}{L} C_{\mathrm{ox}} \mu_{\mathrm{ns}}\left(V_{\mathrm{gs}}-V_{\mathrm{t}}-m V_{\mathrm{ds}}\right)
$$

记此时电压为$V_\mathrm{dsat}$，称为饱和漏极电压。可以得到：

$$
V_{\mathrm{dsat}}=\frac{V_{\mathrm{gs}}-V_{\mathrm{t}}}{m}
$$

$$
I_{\mathrm{dsat}}=\frac{W}{2mL}C_{\mathrm{oxe}}\mu_{\mathrm{ns}}(V_{\mathrm{gs}}-V_t)^2
$$

饱和区

$V_{\mathrm{ds}}>V_{\mathrm{dsat}}$后，$I_{\mathrm{ds}}$将保持不变。这个是什么原因呢？

当$V_{\mathrm{ds}}=V_{\mathrm{dsat}}$时，通过计算可以知道在$x=L$处，$Q_{\mathrm{inv}}=0$，也就是说这里没有反型层电荷了，也就是沟道区发生了夹断。$V_{\mathrm{ds}}>V_{\mathrm{dsat}}$，沟道仍处于夹断状态，夹断点向左移。在这里我们不考虑由于夹断导致的沟道长度的减小，从之前的分析中不难看出，从源极到夹断点，$V_{\mathrm{cs}}(x)$和$Q_{\mathrm{inv}}(x)$不变，那么电流也不会变化。相比于饱和临界状态，此时夹断点右侧有一个没有反型层电荷的区域，可以认为是耗尽区，比饱和电压多出来的一部分几乎全部降落在这个区域了。那么为什么没有反型层电荷还有电流呢？因为夹断区有一个很大的电场。

这样理解可能没那么直观，电势和重力势能很像，我们可以联想到水流。

如上图所示，我们把它当成一个水流。想象水从左边流下，对比左右两个图，右边图的区别是在末端有一个瀑布。我们知道，水的流动状态与当前的坡度有关系，最后的瀑布会对前面的状态产生影响吗？显然并不会。因此，这两种情况下，水流是完全相等的。在MOSFET中也是一样，前面是电势的分布，当电压升高后，前面的这一部分区域的电势分布是不变的，唯一改变的是在最后形成了一个“瀑布”，也就是前面所说的多余的电压都降落在了夹断区上。因此，电流是不变的。

利用饱和区的电流公式，也可以求出饱和区电势的分布。在电流积分中，将上限分别换成$x$和$V_{cs}$，可以得到：

$$
\int_{0}^{x}I_{\mathrm{ds}}dx=\int_{0}^{V_{\mathrm{cs}}}WC_{\mathrm{oxe}}(V_{\mathrm{gs}}-mV_{\mathrm{cs}}-V_{\mathrm{t}})\mu_{\mathrm{ns}}dV_{\mathrm{cs}}
$$

$$
I_\mathrm{ds}x=WC_\mathrm{oxe}\mu_{\mathrm{ns}}(V_\mathrm{gs}-V_t-\frac{m}{2}V_{\mathrm{cs}})V_{\mathrm{cs}}
$$

由于饱和区电流等于$I_{\mathrm{dsat}}$，将饱和电流代入进去，化简可得：

$$
V_{\mathrm{cs}}=\frac{V_{\mathrm{gs}}-V_{\mathrm{t}}}{m}(1-\sqrt{1-\frac{x}{L}})
$$

跨导

对于MOSFET，输入电压往往是从栅极输入，输出电流为漏极电流，因此跨导定义为：

$$
g_m \equiv dI_{ds}/dV_{gs}|_{V_{ds}}
$$

跨导反映了晶体管对输入电压的敏感度，一般希望其越大越好。对于饱和区，可得：

$$
g_{\mathrm{msat}}=\frac{W}{mL}C_{\mathrm{oxe}}\mu_{\mathrm{ns}}(V_{\mathrm{gs}}-V_{\mathrm{t}})
$$