MOS是金属-氧化物-半导体(Metal-Oxide-Semiconductor)，它的本质是一个电容。MOS电容的研究是学习MOSFET的基础。就像理解了PN结之后，BJT的内容就很好理解了一样，理解了MOS之后，MOSFET器件的原理也很好理解了。理解MOS最重要的是理解电荷的分布和电压降落在了哪里。

平带电压

同样的，一个热平衡的系统费米能级要是统一的。MOS本身就是一个电容，如果氧化层两侧费米能级不同，那么将会存在电场，使得能带发生弯曲。但是，和金半接触不同的是，氧化层中也会存在电场，因此，氧化层和半导体一侧的能带均会发生弯曲。那么电场只存在于氧化层中，不存在与半导体中不行吗？当然不行，因为界面处电场的电位移矢量要连续，氧化层中存在电场，半导体表面必定会存在电场。

能带的弯曲方向我们可以仿照着金半接触来画（绘制技巧去看肖特基二极管），无非就是氧化物中分担了一部分压降而已，弯曲方向是一样的。由于书上的图金属一侧使用是重掺杂多晶硅，由于我不想自己画图了，就按照书上的图来吧，但原理都是一样的，看的都是费米能级。

半导体一侧为P型半导体，提供空穴，因此，能带向下弯。

当外加电压后，能带弯曲情况会发生改变。存在一种特殊情况，在外加电压的作用下，能带不再弯曲，处于平带状态。此时的电压称为平带电压$V_{\mathrm{fb}}$。

再看上面这个例子，如果要将能带拉平，需要将右侧的能带向下拉，对应的是加正电压。右侧加正电压相当于左侧加负电压，因此此时$V_{\mathrm{fb}}$为负。这个电压的作用是补偿掉氧化层中的势垒和半导体表面处的势垒，也就是接触前两端费米能级之差，即功函数之差。因此可以求出平带电压的值：

$$
V_{\mathrm{fb}}=\psi_{\mathrm{g}}-\psi_{\mathrm{s}}
$$

其中$\psi_{\mathrm{g}}$为金属一侧的功函数，$\psi_{\mathrm{s}}$为半导体一侧的功函数。

之后的讨论都是与平带状态为对比。

表面积累

如果再加一个比$V_{\mathrm{fb}}$的绝对值更大的负栅压，那么右侧的能带将会继续往下拉，如下图所示：

此时可以发现，在P型半导体表面出，空穴浓度要大于体内的浓度，构成了一个积累层，这些空穴称为积累层空穴，电荷称为积累层电荷$Q_{\mathrm{acc}}$，这种状态称为表面积累。如果半导体为N型半导体，那么就是电子积累。

表面积累状态是在平带电压的基础上又额外加了一部分电压，这一部分电压表现为氧化层的势垒和半导体表面的势垒，即$V_{\mathrm{OX}}+\phi_{\mathrm{s}}$。因此，可以得到下面的关系是：

$$
V_{\mathrm{g}}=V_{\mathrm{fb}}+\phi_{\mathrm{s}}+V_{\mathrm{ox}}
$$

P型半导体费米能级一般距离价带顶都比较近，因此在这种状态下，$\phi_{\mathrm{s}}$一般都会比较小，因此可以认为比平带电压多出来的那一部分电压全部降在了氧化层上，即

$$
V_{\mathrm{ox}}=V_{\mathrm{g}}-V_{\mathrm{fb}}
$$

此时半导体可以类似于金属。利用高斯定理，可得：

$$
\mathscr{E}_{\mathrm{ox}}=-\frac{Q_{\mathrm{acc}}}{\varepsilon_{\mathrm{ox}}}
$$

负号表示电场方向为半导体指向金属。根据电场，可以得到电压：

$$
V_{\mathrm{ox}}=\mathscr{E}_{\mathrm{ox}}T_{\mathrm{ox}}=-\frac{Q_{\mathrm{acc}}}{C_{\mathrm{ox}}}
$$

其中$C_{\mathrm{ox}}$是单位面积栅氧化层的电容，单位是$F/cm^2$。

可以看到，此时的MOS电容十分类似于平行板电容器。再将上面的式子化简一下，可以得到：

$$
Q_{\mathrm{acc}}=-C_{\mathrm{ox}}(V_{\mathrm{g}}-V_{\mathrm{fb}})
$$

硅衬底中可能存在一些界面态，如果将其也考虑进去，可以将上面的电压公式推广为：

$$
V_{\mathrm{ox}}=-\frac{Q_{\mathrm{sub}}}{C_{\mathrm{ox}}}
$$

其中$Q_{\mathrm{sub}}$为硅衬底中可能存在的各种电荷的面密度之和。

表面耗尽

表面积累状态是从平带状态继续加负电压，而如果加正电压，相当于左侧的能带向下拉，那么能带就会如图所示：

此时可以发现，半导体表面处空穴浓度减少，出现了一个耗尽区，因此这种状态被称为表面耗尽。

在平带电压基础上加上的正电压可以表示为$V_g-V_{\mathrm{fb}}$，这一部分电压依旧是被氧化层和半导体分担，即：

$$
V_{\mathrm{g}}-V_{\mathrm{fb}}=\phi_{\mathrm{s}}+V_{\mathrm{ox}}
$$

这个耗尽区的分析方式与PN结耗尽区类似，因此，可以根据势垒高度写出耗尽区宽度为：

$$
W_{\mathrm{dep}}=\sqrt{\frac{2\varepsilon_s\phi_s}{qN_a}}
$$

此时硅衬底中的电荷为：

$$
Q_{\mathrm{sub}}=Q_{\mathrm{dep}}=-qN_aW_{\mathrm{dep}}
$$

为什么有个符号呢？因为耗尽区内空穴被耗尽，留下的是负电中心。

根据上面的公式，可以写出氧化层上的压降：

$$
V_{\mathrm{ox}}=-\frac{Q_{\mathrm{sub}}}{C_{\mathrm{ox}}}=\frac{qN_aW_{\mathrm{dep}}}{C_{\mathrm{ox}}}=\frac{\sqrt{2qN_a\varepsilon_s\phi_s}}{C_{\mathrm{ox}}}
$$

根据耗尽区宽度公式，可以写出：

$$
\phi_s=\frac{qN_aW_{\mathrm{dep}}^2}{2\varepsilon_s}
$$

进而可以得出：

$$
V_g=V_{f b}+\phi_s+V_{o x}=V_{f b}+\frac{q N_a W_{d e p}^2}{2 \varepsilon_s}+\frac{q N_a W_{d e p}}{C_{o x}}
$$

根据这个公式就可以求出耗尽区宽度，进而求出氧化层的压降和耗尽区的压降了。

不必死记上面的公式，要理解过程。氧化层压降通过高斯定理，高斯定理涉及到电荷，电荷可由耗尽区宽度得到。半导体耗尽区压降可以由耗尽区宽度得到。

阈值电压

当加的正电压继续增大，将会到达一个临界状态，如下图所示：

此时，表面处的电子浓度和体内空穴浓度几乎相等，为达到强反型状态的阈值状态。反型的意思是，在半导体的表面处，在上述例子中，就是从P型转为了N型。此时表面处的$E_F$和$E_i$的间距与体内$E_F$和$E_i$的间距相同，在上图中就是$D=C=q\phi_B$。由此，可知半导体耗尽区的压降为$2\phi_B$。

在这里要强调一下，这种情况下的耗尽区，和PN结类似，我们依旧认为其中的载流子为耗尽状态，即其中的载流子浓度远小于体内的载流子浓度，可以忽略不计。因此，耗尽区内的电荷依旧是负电中心，即$qN_a$。

据此，分析过程和表面耗尽相同，只不过$\phi_s=2\phi_B$。将上面的公式套用过来即可。而$\phi_B=E_i-E_F$，因此可以根据掺杂浓度求出。在这里，再介绍一种能够快速写出公式的技巧。在之前分享过一个技巧，即掺杂浓度不同，对应的掺杂浓度变化的倍数为一个指数关系$exp(\Delta E_F/kT)$。那么这个技巧也可以反过来，如果要求两个能级的差，可以利用$kT\mathrm{ln}(第二个能级为E_F时对应的空穴浓度/第一个能级为E_F时对应的空穴浓度)$，电子浓度则相反。用到这里就是，$E_i$对应的空穴浓度为$n_i$，$E_F$对应的空穴浓度为$N_a$。那么，可以得到：

$$
q\phi_B=E_i-E_F=kT\mathrm{ln}(\frac{N_a}{n_i})
$$

代入到表面耗尽的公式中，可以得到：

$$
V_t=V_{\mathrm{fb}}+2\phi_B+\frac{\sqrt{2qN_a\varepsilon_s2\phi_B}}{C_{\mathrm{ox}}}
$$

这个电压就是阈值电压。

对于N型衬底，是在平带电压的基础上加负电压，后面两项为负号。可以很容易的写出公式：

$$
q\phi_B=kT\mathrm{ln}\frac{N_d}{n_i}
$$

$$
V_t=V_{fb}-2\phi_B-\frac{\sqrt{2qN_a\varepsilon_s2\phi_B}}{C_{\mathrm{ox}}}
$$

强反型状态

达到阈值电压后，电压继续增大，此时半导体表面的电子浓度将超过半导体体内的空穴浓度。此时可以像表面积累状态时一样忽略掉反型层的压降。反型层下方，依旧是上面所分析的耗尽层，因此耗尽区宽度可以认为不改变。表面那一层积累电荷就和表面积累状态一样，将提高氧化层内的压降，即$V_{ox}$。

此时的$Q_{sub}=Q_{dep}+Q_{inv}$。耗尽层电荷为负电中心，反型电子也为负电，因此是求和的关系。从而可以得到

$$
V_{ox}=-\frac{Q_{sub}}{C_{ox}}=-\frac{Q_{dep}}{C_{ox}}-\frac{Q_{inv}}{C_{ox}}
$$

$$
\begin{aligned}
V_{\mathrm{g}} &=V_{\mathrm{fb}}+2 \phi_{\mathrm{B}}-\frac{Q_{\mathrm{dep}}}{C_{\mathrm{ox}}}-\frac{Q_{\mathrm{inv}}}{C_{\mathrm{ox}}}=V_{\mathrm{fb}}+2 \phi_{\mathrm{B}}+\frac{\sqrt{q N_{\mathrm{a}} 2 \varepsilon_{\mathrm{s}} 2 \phi_{\mathrm{B}}}}{C_{\mathrm{ox}}}-\frac{Q_{\mathrm{inv}}}{C_{\mathrm{ox}}} \
&=V_{\mathrm{t}}-\frac{Q_{\mathrm{inv}}}{C_{\mathrm{ox}}}
\end{aligned}
$$

从上面的式子中也可以看出，比阈值电压多出来的电压全部用来产生反型电荷。

可以发现，当$V_g=V_t$时，$Q_{inv}=0$.这是因为电子在耗尽区内指数级减少，当$V_g=V_t$时，反型层厚度可以认为是0，所以$Q_{inv}=0$。

也可以得到反型层电荷的公式：

$$
Q_{\mathrm{inv}}=-C_{\mathrm{ox}}(V_g-V_t)
$$

此时的MOS电容也和平行板电容器类似，只是存在一个大小为$V_t$的电压偏移。

但是，上面的分析中，是假设费米能级距离导带底足够近，就有反型电子的产生。但是P型衬底的电子浓度很低，依靠热产生构成反型层所需的电子需要一定的时间，需要有一定的时间才能产生反型层。而这个特性既是好处，也是坏处。好处是可以应用于特殊场景，比如后面会讲的CCD器件。坏处就是产生太慢了，但也有解决方法，比如MOSFET，反型层的电子可以由源漏区提供。

阈值电压的选取

为了降低电路设计的难度，一般将$V_t$设定为一个较小的正电压，比如0.4V。这样当$V_g=0$时，晶体管中不存在反型层，没有电流流过，这种称为增强型器件。为了实现较小的$V_t$，一般都选取N⁺栅和P型衬底或者P⁺栅和N型衬底。

总结

其实核心就是从电荷量求出氧化层压降，耗尽区宽度得到耗尽区压降

表面积累：$Q_{\mathrm{sub}}=Q_{\mathrm{acc}}$

表面耗尽/阈值状态：$Q_{\mathrm{sub}}=Q_{\mathrm{dep}}$

强反型状态：$Q_{\mathrm{sub}}=Q_{\mathrm{dep}}+Q_{\mathrm{inv}}$

核心公式：

$$
V_g=V_{\mathrm{fb}}+\phi_s+V_{\mathrm{ox}}
$$

$$
V_{\mathrm{ox}}=-\frac{Q_{\mathrm{sub}}}{C_{\mathrm{ox}}}(要注意符号)
$$

求半导体上的压降时，只关心耗尽区的压降，而忽略积累区的压降。

知道上述这些就可以得到上面的所有公式了。