金半接触中，电子运动除了热发射之外，还有一个重要的方式，那就是隧道效应。另一类金半接触，即欧姆接触，就是利用隧道效应制作而成的。

• 热发射 -> Schottky接触
• 隧穿 -> 欧姆接触

隧道效应

之前已经讲过隧穿了。金属与半导体之间存在势垒区，当势垒区足够薄时，就有可能发生隧穿效应。

根据量子力学知识，隧穿概率为：

$$
P \approx \exp \left(-2 T \sqrt{\frac{8 \pi^2 m}{h^2}\left(V_{\mathrm{H}}-E\right)}\right)
$$

欧姆接触

在半导体器件中，需要将半导体器件用金属连接在一起。因此，半导体与金属的接触电阻必须足够低。这种低电阻接触称为欧姆接触。

势垒区是有电阻的，为了实现低阻，可以利用隧道效应。因此，欧姆接触的一个重要特征是半导体重掺杂，重掺杂可以降低势垒区厚度。

为了得到接触电阻的表达式，需要知道外加电压V时的电流。要想求出电流，需要知道能够隧穿过去的载流子数，也就是需要知道隧穿概率。求隧穿概率需要知道势垒高度和厚度。

首先看厚度，厚度可以近似为耗尽区宽度的一半，即：

$$
T \approx W_{\text {dep }} / 2=\sqrt{\varepsilon_s \phi_{B n} /\left(2 q N_d\right)}
$$

对于势垒高度，如下图所示：

由于重掺杂，导带底和费米能级近似相等，势垒高度近似为$\phi_{Bn}$。当外加电压后，势垒高度变为了$\phi_{Bn}-V$。由此，可以得到隧穿概率：

$$
\begin{aligned}
&P \approx \mathrm{e}^{-H \phi_{\mathrm{B} n} / \sqrt{N_{\mathrm{d}}}} \
&H \equiv \frac{4 \pi}{h} \sqrt{\left(\varepsilon_s m_n\right) / q}
\end{aligned}
$$

仿照热发射理论里的分析方法，将里面的载流子浓度换为$N_dP$，可以得到：

$$
J_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{M}}\left(=-\mathrm{J}_{\mathrm{M} \rightarrow \mathrm{S}}\right) \approx \frac{1}{2} q N_{\mathrm{d}} v_{\mathrm{thx}} P
$$

代入得：

$$
J_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{M}}=\frac{1}{2} q N_{\mathrm{d}} v_{\mathrm{thX}} \mathrm{e}^{-H\left(\phi_{\mathrm{B} n}-V\right) / \sqrt{N_{\mathrm{d}}}}
$$

从而可以求出接触电阻：

$$
\begin{gathered}
\left.J \approx \frac{\mathrm{d} J_{S \rightarrow M}}{\mathrm{~d} V}\right|_{V=0} \cdot V=V \cdot \frac{1}{2} q v_{\mathrm{thx}} H \sqrt{N_d} e^{-H \phi_{\mathrm{B} n} / \sqrt{N_{\mathrm{d}}}} \
R_{\mathrm{c}} \equiv \frac{V}{J}=\frac{2 \cdot \mathrm{e}^{H \phi_{\mathrm{B} n} / \sqrt{N_{\mathrm{d}}}}}{q v_{\mathrm{thx}} H \sqrt{N_{\mathrm{d}}}} \
\propto \mathrm{e}^{H \phi_{\mathrm{B} n} / \sqrt{N_{\mathrm{d}}}}
\end{gathered}
$$

$R_C$称为特征接触电阻($\Omega \cdot cm^2$)，指的是面积为$1cm^2$的接触电阻。

理想欧姆接触两端的电压为0（电阻为0），意味着费米能级不会偏离其平衡态位置，因此，理想欧姆接触的$n'=p'=0$.