金属与半导体接触主要分为两类，一类是具有和PN结相似的IV特性的接触，这种是肖特基(Schottky)接触；另一类是不具备整流特性的欧姆接触。无论是肖特基接触，还是欧姆接触，都是电路中常用的接触。下面先讨论肖特基接触。

功函数与电子亲和能

在之前的PN结中，我们讨论的都是同质结，即材料相同，因此，在接触前导带和价带的能量是相同的。但是对于金半接触，金属与半导体并不同，因此，引入功函数。

功函数的定义：真空能级$E_0$与费米能级$E_F$之差。

$$
W=E_0-E_F
$$

对于半导体来说，由于费米能级与导带底并不重合，因此，引入电子亲和能，表示要使半导体导带底的电子逸出体外所需要的最小能量，即$E_0$与$E_C$之差。

$$
\chi=E_0-E_C
$$

Schottky势垒

当两个材料接触后，电子倾向于从费米能级高的地方流向费米能级低的地方。功函数可以衡量费米能级的高低，因此，电子倾向于从功函数低的材料流向功函数高的材料。与PN结类似，对于N型半导体来说，如果流出电子，那么会留下正电中心，从而产生电场，进而使得能带弯曲。

以N型半导体为例，如果金属功函数大于半导体功函数，即$W_m>W_s$，那么电子会从半导体流向金属，能带图如下：

这个能带图有一个很好记的方法，那就是与PN结联系起来。我们可以把提供电子的一端（功函数低）当成N区，接受电子的一端当成P区。然后仿照这PN结的能带画出来即可。由于金属端的能带是不会弯曲的，故只需要画出半导体一侧的弯曲即可。

在达到平衡后，系统的费米能级会趋于统一，会形成势垒。可以发现，金属一端的势垒与半导体一端的势垒高度是不同的。半导体一侧的势垒高度为能带的弯曲量，即接触前费米能级之差，也就是功函数之差。即

$$
q\phi_{\mathrm{bi}}=W_m-W_s
$$

而金属一侧的势垒比半导体一侧高了一个$E_C-E_F$，而这个差正好是功函数与电子亲和能的差，因此可以得到金属一侧的势垒：

$$
q\phi_{\mathrm{Bn}}=W_m-\chi
$$

上述情况这个势垒叫做电子势垒，而当P型半导体，且$ W_m < W_s $时，能带向下弯曲，如下图所示。

这个势垒被称作空穴势垒。这两种情况下，势垒区内的电子或空穴浓度很低，是一个高阻区域。

除了上面的两种情况，还有两种情况，就是N型半导体时$W_m < W_s$以及P型半导体时$W_m > W_s$。以第一种情况为例，此时电子从金属流向半导体，半导体表面的电子浓度比体内还要高，此时这个区域就不能称作耗尽区了，形成了一个高电导的区域。因此，在刘恩科老师的《半导体物理学》中，称最开始两种高阻区域为阻挡层，而后两种高电导区域为反阻挡层。

费米钉扎效应

从$q\phi_{\mathrm{Bn}}=W_m-\chi$式子中可以看出，势垒高度应该随金属功函数的增加而线性增加，比如$W_m$增加1eV，那么$\phi_{\mathrm{Bn}}$应该也增加1eV。可在实际生活中并不是这样，这个现象产生的原因就是费米钉扎效应。

在半导体中，费米能级在能带中很容易移动（会随着温度、掺杂等变化而变化）。但是，如果掺杂等因素不能使得费米能级发生位置变化，即虽然掺杂大量的施主或受主，这些杂质也不能激活，不能提供载流子，从而不能改变费米能级的位置，这种现象就是费米钉扎效应。

一个重要的原因是因为界面陷阱电荷的存在，也称为界面态。界面态是半导体物理中一个十分重要的概念，产生的原因有很多，比如说在金属和半导体的界面处，会出现悬挂键等。此时，当电子在金属和半导体之间运动时，这些界面态就会吸收一部分的电子，从而使得费米能级偏离理想情况。

热发射理论

热电子发射理论的核心思想是，假设电子具有一个向金属方向的平均运动速度，其只受温度影响，不受外界电压影响（因此需要电子平均自由程远大于势垒宽度，使得电子在势垒区内的碰撞可以忽略，就可以不受势垒区宽度的影响了，从而不受外界电压影响）。外加电压后，半导体一侧势垒高度变化，表面电子浓度发生改变，可以根据这个电子浓度求出电流。由于金属一侧的势垒不随外界电压变化，因此其电流密度与未加电压时的电流密度相等。然后求差就可以得到总的电流密度。

当外加电压后，平衡状态被打破，将会存在电流。考虑正向偏压情况，能带图如下：

加了正偏电压后，势垒高度降低，被势垒所阻挡的电子将会越过势垒，流向金属。假设$E_{\mathrm{Fn}}$直到能带尖峰都是平的，根据电子浓度的公式，可以得到：

$$
n=N_{\mathrm{c}} \mathrm{e}^{-q\left(\phi_{\mathrm{B}}-V\right) / k T}=2\left[\frac{2 \pi m_n k T}{h^2}\right]^{3 / 2} \mathrm{e}^{-q\left(\phi_{\mathrm{B}}-V\right) / k T}
$$

平均电子速度中的x方向分量比总的热运动速度$\sqrt{3kT/m_{\mathrm{n}}}$，并且只有一半电子向左侧（金属）运动。可以证明向左运动的电子的平均速度为：（这个暂时我还不知道怎么得到的）

$$
v_{\text {thx }}=-\sqrt{2 k T / \pi m_{\mathrm{n}}}
$$

从而可以得到从半导体流向金属的电流密度：

$$
\begin{aligned}
J_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{M}}=-\frac{1}{2} q n v_{\mathrm{thx}}=& \frac{4 \pi q m_n k^2}{h^3} T^2 \mathrm{e}^{-q \phi_{\mathrm{B}} / k T} \mathrm{e}^{q V / k T} \
& \equiv J_0 \mathrm{e}^{q V / k T}
\end{aligned}
$$

没有外加电压时，$J_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{M}}=J_{\mathrm{M} \rightarrow \mathrm{S}}$。因此，上式中$V=0$时就是$J_{\mathrm{M} \rightarrow \mathrm{S}}$。

Schottky二极管的IV特性

根据热发射理论，可以得到电流的表达式：

$$
I=I_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{M}}+I_{\mathrm{M} \rightarrow \mathrm{S}}=I_0 \mathrm{e}^{q V / k T}-I_0=I_0\left(\mathrm{e}^{q V / k T}-1\right)
$$

其中

$$
I_0=A K T^2 \mathrm{e}^{-q \phi_{\mathrm{B}} / k T}
$$

其中，A为面积，K为Richardson常数。

$$
K=\frac{4 \pi q m_n k^2}{h^3}
$$

可以发现其形式与PN结十分类似，但也有不同之处

与PN结的不同

肖特基二极管的$I_0$比典型的PN结二极管的$I_0$大$10^3-10^8$倍，取决于$\phi_B$，也就是金属的选择，较小的$\phi_B$将会导致较大的$I_0$，较大的$I_0$意味着当提供一定的电流时，需要的外加电压更小。如图所示：

因此，肖特基二极管更适合于低电压大电流整流应用。

但是，$\phi_B$也不能太小，否则反向偏置时$I_0$太大，功耗很高。

另外，肖特基二极管的工作主要是多数载流子的参与，少数载流子可以忽略，而这就意味着可以忽略少数载流子的存储。因此，肖特基二极管可以工作在比PN结二极管更高的频率。