半导体器件物理(11)——BJT的电流特性
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从本篇开始,进入双极结型晶体管的世界。双极结型晶体管的分析,看似很复杂,实则原理十分简单。而这个原理就是我在《半导体器件物理(9)——PN结的正偏特性及I-V特性》中铺垫的那段:

在耗尽区边界处计算电流时,轻掺杂一侧的少子扩散电流要远大于重掺杂一侧的少子扩散电流。轻掺杂区一侧的少子扩散电流占据主导作用。而三极管就是利用这个特性,如果能够将这两个少子扩散电流区分开,将重掺杂一侧的扩散电流作为输入电流,将轻掺杂一侧的电流作为输出电流,那么就实现了放大。如何做到呢?就是利用反向偏置时的少数载流子抽取,将轻掺杂一侧的少子抽走,让它从另一个区域流走。

在下文的分析中,你就能够逐渐体会到这一点。下面正式开始。

双极结型晶体管

双极结型晶体管(Bipolar Junction Transistor, BJT)在1948年被发明出来。这个名字中包含着两个重要的特征,“结型”表示PN结是BJT工作的关键,“双极”是指电子和空穴都参与了BJT工作这一现象,因为PN结工作时就包括电子扩散电流和空穴扩散电流。由于电子迁移率要大于空穴迁移率,因此,BJT常常做成NPN管,发挥其工作速度快的优势,下面就都默认是NPN晶体管。

结构

BJT往往是由一个重掺杂的发射区、一个P型基区和一个N型集电区构成,这种晶体管称为NPN BJT。如下图所示:

BJT结构示意图

我们可以发现,BJT是由两个背靠背的PN结结合而成的,因此,可以很容易画出它的能带图。在平衡状态下,发射极的电子被势垒所阻挡,因此,整个器件是没有电流的。根据前面PN结所学的知识,当对PN结施加电压后,平衡状态将会被打破。BJT想要正常工作,需要发射极的电子能够顺利的运动到集电极,也就是集电极能够收集从发射极来的电子,这也是BJT电极名字的由来。为了实现这个过程,首先需要降低发射极与基极之间的势垒,让电子能够顺利的过去,这个就是上图中所展现的情况。换句话说,就是使PN结正偏。

接下来就是集电极对其进行收集。PN结存在内建电场,基极处由于多了电子,打破了原本PN结处于的平衡状态,运动到基极的电子经过内建电场,将会被集电极收集。那么,这个内建电场能够对所有电子都收集吗?当然不是,我们可以这么形象的理解,如下图所示,只有当左侧电子的高度比右侧高电子能够顺利的过去。因此,当处于图中这种情况时,并不能够将电子完全的收集,而这种情况就对应着PN结正偏,即势垒降低了。因此,我们可以发现,当集电结正偏时,会削弱内建电场,从而降低对基极电子的收集能力。这就是以后所讲的饱和区。那么如何能够实现完全收集呢?那就是提高内建电场,将右侧能带向下拉,这就是PN结反偏。

因此,从能带图中,就可以很好的解释BJT的各种工作状态。可以多从这个角度思考一下BJT的工作原理。

BJT工作时需要外加电压,而BJT有三个电极,因此,有着不同的接法。但是,要提前说明的是,每个接法之间,虽然表现出的性质不同,但原理都是一样的。如果每个结外加电压相同,那么不论是哪种接法,三个极的电流都是相同的。只不过不同的是,引出的电流是不一样的。正因如此,在讨论电流时,不在乎是那种接法,只关心每个结加上的电压。

结构特点

从上面的分析中,我们可以发现,为了让电子更多的注入到基区中,需要发射极重掺杂。为了让电子更多的运动到集电区,则需要减少基区中的复合,即基区要很薄。

集电极电流

这里讨论发射结正偏、集电结反偏的情况,至于原因就不用我多说了吧hhh。

电极从发射极一直运动到集电极,因此,集电极电流$I_C$常常是我们的输出电流。我们来关心一下集电结。由于集电结是反偏,特点是少数载流子抽取,将基区中的电子全部抽取过去,可以认为基区耗尽区边界处的电子浓度为0。在基区中,电子会发生两个过程,一个是扩散,一个是复合。写出连续性方程,这个我们已经写过很多很多次了,一定要会写。在稳定情况下,增加的电子数等于减少的电子数,可以得到:

$$
\frac{\mathrm{d}^2 n^{\prime}}{\mathrm{d} x^2}=\frac{n'}{D_B\tau_B}=\frac{n^{\prime}}{L_{\mathrm{B}}^2}
$$

可以发现,这是当时讲连续性方程(半导体器件物理(6)——连续性方程)时,那种样品厚度一定,但是会在边界处讲载流子导出,即边界条件为电子浓度为0的情况。下面考查边界条件:首先是集电结耗尽区边界处$n'=0$,然后是发射结耗尽区边界处。我们知道,发射结是正偏状态,是少数载流子浓度,其耗尽区边界过剩载流子浓度变为$n'=p_B(e^{qV_{BE}/kT}-1)$。根据这两个边界条件,解这个微分方程,可以得到一个很复杂的解。

$$
n^{\prime}(x)=n_{\mathrm{B} 0}\left(\mathrm{e}^{q V_{\mathrm{BE}} / k T}-1\right) \frac{\sinh \left(\frac{W_{\mathrm{B}}-x}{L_{\mathrm{B}}}\right)}{\sinh \left(W_{\mathrm{B}} / L_{\mathrm{B}}\right)}
$$

当基极宽度$W_B$远小于扩散长度$L_B$时,这个方程可以简化为:

$$
\begin{aligned}
n^{\prime}(x) &=n^{\prime}(0)\left(1-x / W_{\mathrm{B}}\right) \\
&=\frac{n_{\mathrm{iB}}^2}{N_{\mathrm{B}}}\left(\mathrm{e}^{q V_{\mathrm{BE}} / k T}-1\right)\left(1-\frac{x}{W_{\mathrm{B}}}\right)
\end{aligned}
$$

可以发现这是一个线性分布。

有载流子浓度分布,就可以求得电流了。

$$
\begin{aligned}
I_{\mathrm{C}} &=\left|A_{\mathrm{E}} q D_{\mathrm{B}} \frac{\mathrm{d} n}{\mathrm{~d} x}\right|=A_{\mathrm{E}} q D_{\mathrm{B}} \frac{n^{\prime}(0)}{W_{\mathrm{B}}} \\
&=A_{\mathrm{E}} q \frac{D_{\mathrm{B}}}{W_{\mathrm{B}}} \frac{n_{\mathrm{iB}}^2}{N_{\mathrm{B}}}\left(\mathrm{e}^{q V_{\mathrm{BE}} / k T}-1\right)
\end{aligned}
$$

当然,可能会有人问,为什么基区中电子的扩散电流就是集电极电流。在PN结中,我们知道,PN电流为耗尽区边界处的少子扩散电流之和。为什么PN结反偏时电流很小?这是因为少子浓度很低,能够抽取的量太少了。但现在基区有了从发射极来的电子,抽取的多了,自然也有了很大的一个电流。由于基区很短,不考虑复合,从发射区来的电子就都被集电区收集了,然后从集电极流走,因此这个电子扩散电流就是集电区电流的一部分。当然集电区电流还有另外一部分,那就是集电区耗尽区边界的空穴扩散电流,但由于空穴太少了,形成的电流相比于基区的电子扩散电流小很多,可忽略不计。从这个分析上看,就能够理解我在开篇写的那段话了,将轻掺杂一侧的少子扩散电流引走。如果没有集电极,那么这个电子扩散电流应该顺利的从基区流走,与发射极的空穴扩散电流共同构成PN结电流。但现在集电结的出现,将这个电子扩散电流抢走了,将发射极的空穴扩散电流与基区的电子扩散电流拆开了

接下来对集电区电流公式进行讨论,首先我们可以写成这个形式:

$$
I_C=I_S\left(\mathrm{e}^{q V_{\mathrm{BE}} / k T}-1\right)
$$

其中,$I_S$称为饱和电流。同时,$I_C$也可以写成这个形式:

$$
I_{\mathrm{C}}=A_{\mathrm{E}} \frac{q n_{\mathrm{i}}^2}{G_{\mathrm{B}}}\left(\mathrm{e}^{q V_{\mathrm{BE}} / k T}-1\right)
$$

其中,

$$
G_{\mathrm{B}}=\frac{n_{\mathrm{i}}^2}{n_{\mathrm{iB}}^2} \frac{N_{\mathrm{B}}}{D_{\mathrm{B}}} W_{\mathrm{B}}=\frac{n_{\mathrm{i}}^2}{n_{\mathrm{iB}}^2} \frac{p}{D_{\mathrm{B}}} W_{\mathrm{B}}
$$

上式中,p代表基区的多数载流子浓度。$G_B$被称为基区的Gummel数,表示基区内的掺杂总量。那么为什么要引入它呢?因为引入它之后,可以达到简化模型的目的,并且可以适用于非均匀掺杂和大注入条件!$G_B$的广义定义如下,量纲为$s/cm^4$:

$$
G_{\mathrm{B}} \equiv \int_0^{W_{\mathrm{B}}} \frac{n_{\mathrm{i}}^2}{n_{\mathrm{iB}}^2} \frac{p}{D_{\mathrm{B}}} \mathrm{dx}
$$

如果$ni=n\{iB}$,并且满足小注入条件,那么可以得到:

$$
G_B=\frac{1}{D_{\mathrm{B}}} \int_0^{W_{\mathrm{B}}} N_{\mathrm{B}}(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{D_{\mathrm{B}}} \times \text { 单位面积的基区掺杂原子 }
$$

这个是十分有用的,甚至可以迁移到PN结上(以下只是我自己的思考,不一定有理论支持)。假如你现在不知道PN结的电流公式,我们知道一个扩散长度内的少子对扩散电流有贡献,考虑P区电子扩散电流,单位面积的掺杂原子就可以写成$N_aL_n$,那么可以得到$G=\frac{N_aL_n}{D_n}$,代入上面的公式,可以得到P区电子扩散电流:

$$
I_{0,p}=A q n_{\mathrm{i}}^2\frac{D_n}{L_n N_{\mathrm{a}}}
$$

再加上N区空穴扩散电流,结果就是PN结的I-V特性曲线。(以上只是我自己的思考,不一定有理论支持

并且,$G_B$包含了晶体管设计中所有影响$I_C$的因素,这个会在后面讨论。

可以根据$I_C-V_{BE}$曲线得到Gummel数。怎么得到呢?当$V_{BE}$较大时,$I_C$可以简化为:

$$
I_{\mathrm{C}}=A_{\mathrm{E}} \frac{q n_{\mathrm{i}}^2}{G_{\mathrm{B}}}\mathrm{e}^{q V_{\mathrm{BE}} / k T}
$$

两边取对数,得:

$$
\mathrm{log}I_C=\mathrm{log}A_{\mathrm{E}} \frac{q n_{\mathrm{i}}^2}{G_{\mathrm{B}}}+q V_{\mathrm{BE}} / k T
$$

因此,在对数坐标系下,当$V_{BE}=0$时,根据截距就可以得到Gummel数。因此,方法为将对数坐标系下,中间的直线部分延长,得到截距,进而求出$G_B$。

大注入效应

在实际的BJT中,会发现得到的曲线上面会向下弯曲。这就是大注入效应引起的。

当$V_{BE}$很大时,从发射极注入的电子数很大,满足$n'=p'\gg N_B$,这就是大注入情况。此时,基区内的电子浓度与空穴浓度近似相等,即$n\approx p$。由于$np=n_i^2e^{qV_{BE}/kT}$,所以可以得到:

$$
n\approx p\approx n_ie^{qV_{BE}/2kT}
$$

代入到Gummel的公式中,可以得到:

$$
G_B=\frac{n_{\mathrm{i}}^2}{n_{\mathrm{iB}}^2} \frac{p}{D_{\mathrm{B}}} W_{\mathrm{B}}=\frac{n_ie^{qV_{BE}/2kT}}{D_B}W_{B}
$$

再代入到$I_C$中($V_{BE}$很大,忽略后面的“-1”),可得:

$$
I_{\mathrm{C}}=A_{\mathrm{E}} \frac{q n_{\mathrm{i}}^2}{G_{\mathrm{B}}}\mathrm{e}^{q V_{\mathrm{BE}} / k T}=A_{\mathrm{E}} \frac{q n_{\mathrm{i}}D_\mathrm{B}}{W_\mathrm{B}}\mathrm{e}^{q V_{\mathrm{BE}} /2 k T}
$$

即:

$$
I_{\mathrm{c}} \propto n_{\mathrm{i}} \mathrm{e}^{q V_{\mathrm{BE}} / 2 k T}
$$

指数项对应着对数坐标里的斜率,因此,从原来的$q/kT$变为了$q/2kT$,从$60mV/dec$变为了$120mV/dec$。所以直线向下弯曲。

当$I_C$非常高后,和PN结一样,由于寄生电阻的作用,$V_{BE}$变得更低,曲线将会变得更平。这个变化过程和PN结是十分类似的,这也是因为BJT本质上也就是两个PN结。

基极电流

首先我们要清楚基极电流的构成。先考虑发射结,原本应该从基极流出的电子被集电区抢走了,于是就只剩下了空穴扩散电流,即发射结正偏时,空穴注入到发射区,产生的扩散电流。再考虑集电结,集电结反偏,反偏电流可以忽略不计。因此,可以知道基极电流就是发射区内的空穴扩散电流。

这就好办了,在发射区中的空穴也是只有扩散和复合两个过程,进行与基区一样的近似,即$W_E\ll D_E$,另外,在发射极接触为欧姆接触时,认为$p'=0$(欧姆接触后续会介绍)。可以发现,边界条件和求$I_C$时一样,所以可以类似的写出结果:

$$
I_{\mathrm{B}}=A_{\mathrm{E}} \frac{q n_{\mathrm{i}}^2}{G_{\mathrm{E}}}\left(\mathrm{e}^{q V_{\mathrm{BE}} / k T}-1\right)
$$

$$
G_{\mathrm{E}}=\int_0^{W_{\mathrm{E}}} \frac{n_{\mathrm{i}}^2}{n_{\mathrm{iE}}^2} \frac{n}{D_{\mathrm{E}}} \mathrm{d} x
$$

$G_E$为发射极Gummel数。

如果发射极均匀掺杂且扩散系数为常数,那么这个式子就可以写成:

$$
I_{\mathrm{B}}=A_{\mathrm{E}} q \frac{D_{\mathrm{E}}}{W_{\mathrm{E}}} \frac{n_{\mathrm{iE}}^2}{N_{\mathrm{E}}}\left(\mathrm{e}^{q V_{\mathrm{BE}} / k T}-1\right)
$$

如果我们想要实现放大,那么就需要$I_C$要比$I_B$大许多。从上面的公式上不难看出,通过改变材料、掺杂、宽度等,可以实现更大的放大倍数。有关这个问题,后续会讨论。

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