从本篇开始，进入双极结型晶体管的世界。双极结型晶体管的分析，看似很复杂，实则原理十分简单。而这个原理就是我在《半导体器件物理（9）——PN结的正偏特性及I-V特性》中铺垫的那段：

在耗尽区边界处计算电流时，轻掺杂一侧的少子扩散电流要远大于重掺杂一侧的少子扩散电流。轻掺杂区一侧的少子扩散电流占据主导作用。而三极管就是利用这个特性，如果能够将这两个少子扩散电流区分开，将重掺杂一侧的扩散电流作为输入电流，将轻掺杂一侧的电流作为输出电流，那么就实现了放大。如何做到呢？就是利用反向偏置时的少数载流子抽取，将轻掺杂一侧的少子抽走，让它从另一个区域流走。

在下文的分析中，你就能够逐渐体会到这一点。下面正式开始。

双极结型晶体管

双极结型晶体管(Bipolar Junction Transistor, BJT)在1948年被发明出来。这个名字中包含着两个重要的特征，“结型”表示PN结是BJT工作的关键，“双极”是指电子和空穴都参与了BJT工作这一现象，因为PN结工作时就包括电子扩散电流和空穴扩散电流。由于电子迁移率要大于空穴迁移率，因此，BJT常常做成NPN管，发挥其工作速度快的优势，下面就都默认是NPN晶体管。

结构

BJT往往是由一个重掺杂的发射区、一个P型基区和一个N型集电区构成，这种晶体管称为NPN BJT。如下图所示：

我们可以发现，BJT是由两个背靠背的PN结结合而成的，因此，可以很容易画出它的能带图。在平衡状态下，发射极的电子被势垒所阻挡，因此，整个器件是没有电流的。根据前面PN结所学的知识，当对PN结施加电压后，平衡状态将会被打破。BJT想要正常工作，需要发射极的电子能够顺利的运动到集电极，也就是集电极能够收集从发射极来的电子，这也是BJT电极名字的由来。为了实现这个过程，首先需要降低发射极与基极之间的势垒，让电子能够顺利的过去，这个就是上图中所展现的情况。换句话说，就是使PN结正偏。

接下来就是集电极对其进行收集。PN结存在内建电场，基极处由于多了电子，打破了原本PN结处于的平衡状态，运动到基极的电子经过内建电场，将会被集电极收集。那么，这个内建电场能够对所有电子都收集吗？当然不是，我们可以这么形象的理解，如下图所示，只有当左侧电子的高度比右侧高电子能够顺利的过去。因此，当处于图中这种情况时，并不能够将电子完全的收集，而这种情况就对应着PN结正偏，即势垒降低了。因此，我们可以发现，当集电结正偏时，会削弱内建电场，从而降低对基极电子的收集能力。这就是以后所讲的饱和区。那么如何能够实现完全收集呢？那就是提高内建电场，将右侧能带向下拉，这就是PN结反偏。

因此，从能带图中，就可以很好的解释BJT的各种工作状态。可以多从这个角度思考一下BJT的工作原理。

BJT工作时需要外加电压，而BJT有三个电极，因此，有着不同的接法。但是，要提前说明的是，每个接法之间，虽然表现出的性质不同，但原理都是一样的。如果每个结外加电压相同，那么不论是哪种接法，三个极的电流都是相同的。只不过不同的是，引出的电流是不一样的。正因如此，在讨论电流时，不在乎是那种接法，只关心每个结加上的电压。

结构特点

从上面的分析中，我们可以发现，为了让电子更多的注入到基区中，需要发射极重掺杂。为了让电子更多的运动到集电区，则需要减少基区中的复合，即基区要很薄。

集电极电流

这里讨论发射结正偏、集电结反偏的情况，至于原因就不用我多说了吧hhh。

电极从发射极一直运动到集电极，因此，集电极电流$I_C$常常是我们的输出电流。我们来关心一下集电结。由于集电结是反偏，特点是少数载流子抽取，将基区中的电子全部抽取过去，可以认为基区耗尽区边界处的电子浓度为0。在基区中，电子会发生两个过程，一个是扩散，一个是复合。写出连续性方程，这个我们已经写过很多很多次了，一定要会写。在稳定情况下，增加的电子数等于减少的电子数，可以得到：

$$
\frac{\mathrm{d}^2 n^{\prime}}{\mathrm{d} x^2}=\frac{n'}{D_B\tau_B}=\frac{n^{\prime}}{L_{\mathrm{B}}^2}
$$

可以发现，这是当时讲连续性方程(半导体器件物理（6）——连续性方程)时，那种样品厚度一定，但是会在边界处讲载流子导出，即边界条件为电子浓度为0的情况。下面考查边界条件：首先是集电结耗尽区边界处$n'=0$，然后是发射结耗尽区边界处。我们知道，发射结是正偏状态，是少数载流子浓度，其耗尽区边界过剩载流子浓度变为$n'=p_B(e^{qV_{BE}/kT}-1)$。根据这两个边界条件，解这个微分方程，可以得到一个很复杂的解。

$$
n^{\prime}(x)=n_{\mathrm{B} 0}\left(\mathrm{e}^{q V_{\mathrm{BE}} / k T}-1\right) \frac{\sinh \left(\frac{W_{\mathrm{B}}-x}{L_{\mathrm{B}}}\right)}{\sinh \left(W_{\mathrm{B}} / L_{\mathrm{B}}\right)}
$$

当基极宽度$W_B$远小于扩散长度$L_B$时，这个方程可以简化为：

$$
\begin{aligned}
n^{\prime}(x) &=n^{\prime}(0)\left(1-x / W_{\mathrm{B}}\right) \\
&=\frac{n_{\mathrm{iB}}^2}{N_{\mathrm{B}}}\left(\mathrm{e}^{q V_{\mathrm{BE}} / k T}-1\right)\left(1-\frac{x}{W_{\mathrm{B}}}\right)
\end{aligned}
$$

可以发现这是一个线性分布。

有载流子浓度分布，就可以求得电流了。

$$
\begin{aligned}
I_{\mathrm{C}} &=\left|A_{\mathrm{E}} q D_{\mathrm{B}} \frac{\mathrm{d} n}{\mathrm{~d} x}\right|=A_{\mathrm{E}} q D_{\mathrm{B}} \frac{n^{\prime}(0)}{W_{\mathrm{B}}} \\
&=A_{\mathrm{E}} q \frac{D_{\mathrm{B}}}{W_{\mathrm{B}}} \frac{n_{\mathrm{iB}}^2}{N_{\mathrm{B}}}\left(\mathrm{e}^{q V_{\mathrm{BE}} / k T}-1\right)
\end{aligned}
$$

当然，可能会有人问，为什么基区中电子的扩散电流就是集电极电流。在PN结中，我们知道，PN电流为耗尽区边界处的少子扩散电流之和。为什么PN结反偏时电流很小？这是因为少子浓度很低，能够抽取的量太少了。但现在基区有了从发射极来的电子，抽取的多了，自然也有了很大的一个电流。由于基区很短，不考虑复合，从发射区来的电子就都被集电区收集了，然后从集电极流走，因此这个电子扩散电流就是集电区电流的一部分。当然集电区电流还有另外一部分，那就是集电区耗尽区边界的空穴扩散电流，但由于空穴太少了，形成的电流相比于基区的电子扩散电流小很多，可忽略不计。从这个分析上看，就能够理解我在开篇写的那段话了，将轻掺杂一侧的少子扩散电流引走。如果没有集电极，那么这个电子扩散电流应该顺利的从基区流走，与发射极的空穴扩散电流共同构成PN结电流。但现在集电结的出现，将这个电子扩散电流抢走了，将发射极的空穴扩散电流与基区的电子扩散电流拆开了！

接下来对集电区电流公式进行讨论，首先我们可以写成这个形式：

$$
I_C=I_S\left(\mathrm{e}^{q V_{\mathrm{BE}} / k T}-1\right)
$$

其中，$I_S$称为饱和电流。同时，$I_C$也可以写成这个形式：

$$
I_{\mathrm{C}}=A_{\mathrm{E}} \frac{q n_{\mathrm{i}}^2}{G_{\mathrm{B}}}\left(\mathrm{e}^{q V_{\mathrm{BE}} / k T}-1\right)
$$

其中，

$$
G_{\mathrm{B}}=\frac{n_{\mathrm{i}}^2}{n_{\mathrm{iB}}^2} \frac{N_{\mathrm{B}}}{D_{\mathrm{B}}} W_{\mathrm{B}}=\frac{n_{\mathrm{i}}^2}{n_{\mathrm{iB}}^2} \frac{p}{D_{\mathrm{B}}} W_{\mathrm{B}}
$$

上式中，p代表基区的多数载流子浓度。$G_B$被称为基区的Gummel数，表示基区内的掺杂总量。那么为什么要引入它呢？因为引入它之后，可以达到简化模型的目的，并且可以适用于非均匀掺杂和大注入条件！$G_B$的广义定义如下，量纲为$s/cm^4$：

$$
G_{\mathrm{B}} \equiv \int_0^{W_{\mathrm{B}}} \frac{n_{\mathrm{i}}^2}{n_{\mathrm{iB}}^2} \frac{p}{D_{\mathrm{B}}} \mathrm{dx}
$$

如果$ni=n\{iB}$，并且满足小注入条件，那么可以得到：

$$
G_B=\frac{1}{D_{\mathrm{B}}} \int_0^{W_{\mathrm{B}}} N_{\mathrm{B}}(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{D_{\mathrm{B}}} \times \text { 单位面积的基区掺杂原子 }
$$

这个是十分有用的，甚至可以迁移到PN结上（以下只是我自己的思考，不一定有理论支持）。假如你现在不知道PN结的电流公式，我们知道一个扩散长度内的少子对扩散电流有贡献，考虑P区电子扩散电流，单位面积的掺杂原子就可以写成$N_aL_n$，那么可以得到$G=\frac{N_aL_n}{D_n}$，代入上面的公式，可以得到P区电子扩散电流：

$$
I_{0,p}=A q n_{\mathrm{i}}^2\frac{D_n}{L_n N_{\mathrm{a}}}
$$

再加上N区空穴扩散电流，结果就是PN结的I-V特性曲线。（以上只是我自己的思考，不一定有理论支持）

并且，$G_B$包含了晶体管设计中所有影响$I_C$的因素，这个会在后面讨论。

可以根据$I_C-V_{BE}$曲线得到Gummel数。怎么得到呢？当$V_{BE}$较大时，$I_C$可以简化为：

$$
I_{\mathrm{C}}=A_{\mathrm{E}} \frac{q n_{\mathrm{i}}^2}{G_{\mathrm{B}}}\mathrm{e}^{q V_{\mathrm{BE}} / k T}
$$

两边取对数，得：

$$
\mathrm{log}I_C=\mathrm{log}A_{\mathrm{E}} \frac{q n_{\mathrm{i}}^2}{G_{\mathrm{B}}}+q V_{\mathrm{BE}} / k T
$$

因此，在对数坐标系下，当$V_{BE}=0$时，根据截距就可以得到Gummel数。因此，方法为将对数坐标系下，中间的直线部分延长，得到截距，进而求出$G_B$。

大注入效应

在实际的BJT中，会发现得到的曲线上面会向下弯曲。这就是大注入效应引起的。

当$V_{BE}$很大时，从发射极注入的电子数很大，满足$n'=p'\gg N_B$，这就是大注入情况。此时，基区内的电子浓度与空穴浓度近似相等，即$n\approx p$。由于$np=n_i^2e^{qV_{BE}/kT}$，所以可以得到：

$$
n\approx p\approx n_ie^{qV_{BE}/2kT}
$$

代入到Gummel的公式中，可以得到：

$$
G_B=\frac{n_{\mathrm{i}}^2}{n_{\mathrm{iB}}^2} \frac{p}{D_{\mathrm{B}}} W_{\mathrm{B}}=\frac{n_ie^{qV_{BE}/2kT}}{D_B}W_{B}
$$

再代入到$I_C$中（$V_{BE}$很大，忽略后面的“-1”），可得：

$$
I_{\mathrm{C}}=A_{\mathrm{E}} \frac{q n_{\mathrm{i}}^2}{G_{\mathrm{B}}}\mathrm{e}^{q V_{\mathrm{BE}} / k T}=A_{\mathrm{E}} \frac{q n_{\mathrm{i}}D_\mathrm{B}}{W_\mathrm{B}}\mathrm{e}^{q V_{\mathrm{BE}} /2 k T}
$$

即：

$$
I_{\mathrm{c}} \propto n_{\mathrm{i}} \mathrm{e}^{q V_{\mathrm{BE}} / 2 k T}
$$

指数项对应着对数坐标里的斜率，因此，从原来的$q/kT$变为了$q/2kT$，从$60mV/dec$变为了$120mV/dec$。所以直线向下弯曲。

当$I_C$非常高后，和PN结一样，由于寄生电阻的作用，$V_{BE}$变得更低，曲线将会变得更平。这个变化过程和PN结是十分类似的，这也是因为BJT本质上也就是两个PN结。

基极电流

首先我们要清楚基极电流的构成。先考虑发射结，原本应该从基极流出的电子被集电区抢走了，于是就只剩下了空穴扩散电流，即发射结正偏时，空穴注入到发射区，产生的扩散电流。再考虑集电结，集电结反偏，反偏电流可以忽略不计。因此，可以知道基极电流就是发射区内的空穴扩散电流。

这就好办了，在发射区中的空穴也是只有扩散和复合两个过程，进行与基区一样的近似，即$W_E\ll D_E$，另外，在发射极接触为欧姆接触时，认为$p'=0$（欧姆接触后续会介绍）。可以发现，边界条件和求$I_C$时一样，所以可以类似的写出结果：

$$
I_{\mathrm{B}}=A_{\mathrm{E}} \frac{q n_{\mathrm{i}}^2}{G_{\mathrm{E}}}\left(\mathrm{e}^{q V_{\mathrm{BE}} / k T}-1\right)
$$

$$
G_{\mathrm{E}}=\int_0^{W_{\mathrm{E}}} \frac{n_{\mathrm{i}}^2}{n_{\mathrm{iE}}^2} \frac{n}{D_{\mathrm{E}}} \mathrm{d} x
$$

$G_E$为发射极Gummel数。

如果发射极均匀掺杂且扩散系数为常数，那么这个式子就可以写成：

$$
I_{\mathrm{B}}=A_{\mathrm{E}} q \frac{D_{\mathrm{E}}}{W_{\mathrm{E}}} \frac{n_{\mathrm{iE}}^2}{N_{\mathrm{E}}}\left(\mathrm{e}^{q V_{\mathrm{BE}} / k T}-1\right)
$$

如果我们想要实现放大，那么就需要$I_C$要比$I_B$大许多。从上面的公式上不难看出，通过改变材料、掺杂、宽度等，可以实现更大的放大倍数。有关这个问题，后续会讨论。