前言
这个笔记系列主要是记录一些常用的函数，以及对一些函数的理解，对于软件的详细使用还是推荐去看一些视频教程，B站和油管上都有。
列表简单来说就是一串数据或者多串数据，也就是数组。Mathematica中的列表中的元素可以为任何类型，不同类型的元素也可以组成一个列表，拥有很大的自由性，而这也是Mathematica语言的一大特点。
在Mathematica中，有一个很特色的地方，在一些情况下，那就是我们可以不必区分表达式和列表，甚至在一些情况，可以将他们看成一种东西。这体现在很多函数中，通过看一些函数所要求的参数，可以发现参数里有列表的函数，往往都可以把表达式也作为参数。这也是Mathematica一个特色，理解了之后，可以很大的提高我们的效率。
对列表的函数一般都可以用于表达式，这些函数可以对任意头部起作用，而不仅仅是List，在mathematica中，表达式也可以看作是一个列表。对一个表达式进行TreeForm，可以看出表达式的结构，从结构中可以将表达式看成多维列表。例如：
最上面是头部，对于列表来说，头部为List。因此，可以将这个表达式当成{1, x, {x, {a, b}}}，对其进行列表操作后再转化为表达式。例如对上述表达式，如果在{3,2}这个位置插入元素z，则列表变为{1, x, {x, {z,{a, b}}}}，注意对表达式插入时，同时会插入相应的头，如下图，插入z时，会插入Power的头。
定义列表
直接定义
使用 {}，列表元素的类型可以为各种类型。
a = {1, "rain", x^2}根据表达式定义列表
Table[expr, {i, imin, imax, d}]
Table[x^2 + x, {x, 1, 10, 2}]根据函数定义列表
Array。函数可以为之前定义的函数，比如f[x]，也可以为匿名函数，比如 1+#^2&
从列表中提取元素
提取单个元素
提取首个元素
First[list]
提取末尾元素
Last[list]
提取指定位置的元素
使用两个"[[]]"，序号可以为正，也可以为负
list[[index]]提取多个元素
提取多个不连续的元素
将序号使用{}引起来
list[[{index1, index2, index3}]]提取多个连续的
Take[list, {begin, end}]
如果后面只有一个数字，如果为正，则表示从头取n个元素，为负，表示从末尾取n个元素。例如Take[list, 10]表示取list的前10个元素
按照一定规则取列表元素
Select[list, crit, n]
选取list中使得crit[ei]为True的前n个元素，n可以不写，表示所有满足条件的元素。
crit一般为匿名函数，使用#来表示列表中的元素，根据#写条件，就可以得到满足条件的元素列表了。匿名函数最后要以&结束。例如：
list = Table[x, {x, 1, 10}]
Select[list, # > 5 &]
; 输出为列表中大于5的元素
{6, 7, 8, 9, 10}列表属性
列表长度
Length[list]
列表维度
Dimensions[list]
列表操作
列表合并
直接合并（连接多个列表）
Join[list1, list2, ..., n]
最后的n可以不写，写n表示合并每个列表的第n个元素
并集
即合并后将重复值删掉，每个值只保留一份，并会对列表元素进行排序。因此，如果Union里只有一个列表，会对列表进行删除重复值和排序的操作。
Union[list1, list2, ...]
交集
Intersection
补集
Complement[universal,list1,…] 给出在 universal 中，但不在 listi 中的元素的列表
列表的增删改查
以下所有函数用法都差不多，第一项为列表，如果涉及到元素，则第二项为增加的元素或者查找的元素，多个元素则使用列表表示，最后一项为位置，多个位置也是用列表表示。
增加元素
Append[list, element]
AppendTo[list, element] 与append不同的是appendto会将增加元素后的列表赋值进list中
Insert：
PadLeft, PadRight 填充列表
PadLeft[list,len,x] 在 list 的左边用 x 进行填充，产生一个长度为 len 的列表
PadRight[list,len,x] 在 list 的右边进行填充
最后一个应用可以在表达式对应的位置插入元素，pos对应的是深度信息，示例：
in:
Insert[f[a, b, c, d], x, 2]
out:
f[a,x,b,c,d]
in:
1 + x^(a + b) + y^(c + d);
Insert[%, zzz, {3, 2, 3}]
out:
1 + x^(a + b) + y^(c + d + zzz)删除元素
Delete（删除指定位置的元素）
Drop（删除连续的多个元素）
Rest[list] 去掉 list 的第一个元素
Most[list] 去掉 list 的最后一个元素
修改元素
可以直接对原列表修改，例如
a = {1, 2, 3}
a[[1]] = 4
输出：
{4, 2, 3}也可以使用函数进行批量修改，为ReplacePart
查找元素
pattern为设置的模式，可以按照模式进行查找
模式匹配是指将FullForm格式相同的元素提取出来，结构相同。关于模式的官方文档：pattern
MemberQ[list, form] 检测form是否为list的元素
FreeQ[list, form] 检测form是否不在list中
重排列表
Sort：
排序函数可以是纯函数，也可以是内置的函数。例如：
Sort[{{a, 2}, {c, 1}, {d, 3}}, #1[[2]] < #2[[2]] &]SortBy：按函数值排列
Reverse：
RotateLeft[list, n] 把列表 list 元素向左轮换 n 个位置
RotateRight[list, n] 把列表 list 元素向右轮换 n 个位置
Ordering: 返回结果是位置
列表分组
第二个应用很有意思，比如
Gather：与split的不同之处在于Gather没有顺序的要求，而split有顺序的要求，例如对于{1, 1, 2, 2, 1, 2}，split后的结果为{{1, 1}, {2, 2}, {1}, {2}}，而Gather后的结果为{{1, 1, 1}, {2, 2, 2}}
SplitBy[list,f] 将 list 的参数收集到相同参数的子列表中
GatherBy[list,f] 当应用 f 时，将列表的参数收集到具有相同值的子列表中
加了by就相当于对一个列表经过函数运算后的列表在进行分组或收集
Partition：常用的是前两个
其他操作
统计每个元素的个数（重复值）
Tally[{a, a, b, b, a, c, a}]
out:
{{a, 4}, {b, 2}, {c, 1}}删除重复值
前面提到过，Union也可以删除重复值，但是会对其重新排序。而DeleteDuplicates不会对其排序
DeleteDuplicatesBy 删除具有相同函数值的元素
DeleteAdjacentDuplicates 用法与DeleteDuplicates相同，但是作用是删除相邻重复值的元素
列表的运算（向量）
在mathematica中，向量也是一个列表
v1 = {1, 2};
v2 = {2, 3};
v1 + v2; (*求和*)
v1 . v2; (*点乘*)
2 v1; (*列表与常数的乘法*)
VectorAngle[v1, v2] (*求两个向量夹角*)
Cross[v1, v2] (*叉乘*)Inner
考虑两个列表A和B，点积是将两个列表对应的元素相乘后再进行相加运算，其中涉及到了两个列表对应元素的运算，即A[[i]]*B[[i]]，又涉及到了将得到的结果再进行运算的过程。考虑将这个过程更加一般化，即第一个运算不再是Times，第二个不再是Plus，而是各种函数，这就是Inner。
Inner[f,list1,list2,g]
Inner的语法如上，对于点积来说，f为Times，g为Plus。它表示将list1和list2对应位置的元素进行f运算，然后将得到的一个序列进行g运算。例如
Inner[Divide, {a, b}, {x, y}, Plus]
out:a/x + b/y在上例中，首先是进行Divide，得到了a/x, b/y，然后进行Plus，即Plus[a/x, b/y]，得到最后的结果。
Outer
Outer是广义外积，相比于Inner的一对一，Outer是一对多。A中的每一个元素都要与B的所有元素进行运算，最后得到一个矩阵。比如：
Outer[f, {a, b}, {x, y, z}]
out:{{f[a, x], f[a, y], f[a, z]}, {f[b, x], f[b, y], f[b, z]}}其语法为：
对于中间的list，其头部不一定是list，例如：
Outer[g, f[a, b], f[x, y, z]]
out:f[f[g[a, x], g[a, y], g[a, z]], f[g[b, x], g[b, y], g[b, z]]]矩阵
矩阵就是列表的嵌套，所以对矩阵操作也是对列表操作。
| 矩阵函数 | 含义 |
|---|---|
| MatrixForm[s] | 以标准的二维矩阵形式显示s |
| DiagonalMatrix[{a, b, c}] | 生成一个3x3的对角阵，对角元素为a,b,c |
| Inverse[m] | 矩阵的逆 |
| MatrixPower[m,n] | 矩阵的n次幂 |
| Det[m] | 矩阵的行列式 |
| Tr[m] | 矩阵的迹 |
| Transpose[m] | 矩阵的转置 |
| Eigenvalues[m] | 矩阵的特征值 |
| Eigenvectors[m] | 矩阵的特征向量 |
函数作用于列表
Map (/@) — 将函数映射于一个列表: f/@{a,b,c}⟶{f[a],f[b],f[c]}
Apply (@@) — 将函数作用于一个列表: f@@{x,y,z}⟶f[x,y,z]
MapApply (@@@) — 将函数作用于一个列表: f@@@{x,y,z}⟶{f@@x,f@@y,f@@z}
列表中的数学运算
| 函数 | 功能 |
|---|---|
| Total[list, n] | 求和(n表示深度，可以省略) |
| Accumulate[list] | 逐次求和 |
| Differences[list, n] | list的第n阶差分（n可以省略） |
| Count[list, pattern] | 统计匹配模式的元素数量 |
| CountDistinct[list] | 统计不同元素的数目 |
| CountDistinctBy | |
| Max/Min[list1, list2, ...] | 所有列表中的最大值/最小值 |
| MaxMin[list1, list2, ...] | 返回{min, max} |
| TakeLargest[list,n] | 返回前n个最大的 |
| TakeLargestBy[list,f,n] | |
| TakeSmallest | |
| TakeSmallestBy |
