线性代数的本质(7)——抽象的向量空间
本文最后更新于511 天前,其中的信息可能已经过时,如有错误请发送邮件到lysun26@163.com

关于矩阵、行列式等,我们已经知道其含义了。那么,有一个问题,什么是向量?对于一个二维的向量,是一个平面中的一个箭头吗?或者说是一对实数,被可视化为了一个箭头?或者是这两个都是一个更深层次的表现形式?通过前面的学习,我们知道一个向量是依附于一个抽象的坐标系存在的,同样的向量,在不同的坐标系中是不同的。向量就是局限于几个数字吗?并不是,向量也很多种表现形式。

函数也有加法和数乘运算,这和向量的加法数乘运算几乎相同。那么我们是不是也可以把函数看成一个向量呢?当然是可以的。将函数可以看作是一个向量,我们可以对函数施加线性变化,例如$L(\frac{1}{9}x^3-x)=\frac{1}{3}x^2-1$,L线性变换将一个函数转换成了另一个函数(对应着前面的将一个向量转换成了另一个向量)。根据微积分知识,我们可以知道,这里的变换是微分运算,所以微分运算就是一种变换(就类似于矩阵乘法、点乘、叉乘等都是一个变换)。那么对于函数来说,怎么判断这个变换是否是线性呢?这就涉及到线性最本质的含义,即加法和数乘封闭

  1. Additivity: $L(\vec{v}+\vec{w})=L(\vec{v})+L(\vec{w})$
  2. Scaling: $L(c\vec{v})=cL(\vec{v})$

根据这个,显然,微分运算是线性的。接下来,我们考虑一个空间,这个空间是所有的多项式的集合。我们先为这个空间选择一个基向量,也就是基函数。显然,可以是:1, x, x2, x3, ......这些基函数的作用就类似于平面直角坐标系里的$\vec{i}$和$\vec{j}$,可以通过加法和数乘运算得到所有的多项式,并且这些基函数都是线性无关的。我们可以发现,这个空间的基函数的个数是无穷多个,因此这是一个无穷维的空间,我们可以用向量表示多项式:
$$
a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots a_1 x+a_0=\left[\begin{array}{c}
a_0 \\
a_1 \\
\vdots \\
a_{n-1} \\
a_n \\
0 \\
\vdots
\end{array}\right]
$$
而微分对应的线性变换矩阵为:
$$
\frac{d}{d x}\left(1 x^3+5 x^2+4 x+5\right)=3 x^2+10 x+4
$$

$$
\left[\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 0 & 0 & \cdots \\
0 & 0 & 2 & 0 & \cdots \\
0 & 0 & 0 & 3 & \cdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
5 \\
4 \\
5 \\
1 \\
\vdots
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
1 \cdot 4 \\
2 \cdot 5 \\
3 \cdot 1 \\
0 \\
\vdots
\end{array}\right]
$$

而这个矩阵的每一列就是每个基函数进行微分运算得到的向量。从这里可以看出,微分运算不仅仅可以用于函数,还可以延伸到矩阵。向量中的点积、特征向量也可以用于函数中的内积和特征函数。

回到最开始的问题,我们现在知道了数学中有许多vertor-ish的东西,比如箭头、一串数字、函数,向量中的理论包括点积特征值等,也可以在这种东西上得以体现。这些vertor-ish的集合被称为向量空间(Vector space)。向量有这么多形式,因此,很难给向量一个准确的定义。这是,我们可以考虑定义一些规则,只要遵守这些规则,就是向量。这些规则称为公理(axiom)。下面列出了向量空间需满足的公理:

  1. $\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})=(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}$
  2. $\vec{v}+\vec{w}=\vec{w}+\vec{v}$
  3. 对于所有的$\vec{v}$,满足$0+\vec{v}=\vec{v}$
  4. 对于每一个$\vec{v}$,存在一个$-\vec{v}$,使得$\vec{v}+(-\vec{v})=0$
  5. $a(b\vec{v})=(ab)\vec{v}$
  6. $1\vec{v}=\vec{v}$
  7. $a(\vec{v}+\vec{w})=a\vec{v}+a\vec{w}$
  8. $(a+b)\vec{v}=a\vec{v}+b\vec{v}$

最后来解答下这个问题:我们并不关心向量的形式是什么样的,可以是任何形式,只要遵守上述规则即可。而这也是其抽象性的体现,这也是标题中为啥要带有抽象的原因。Abstractness is the price of generality.

如果你问数学家向量是什么,那么数学家的答案会是:

The mathematician's answer is to just ignore the question.


结语

至此,线性代数部分就结束了,在看到3Blue1Brown老师视频结尾的时候,我感受到了数学的魅力。数学是一门抽象的艺术,很多东西是没有什么定义的,因此也就造就了许多理论的相通性,许多东西都是另一个东西的另一种形式表达。就好比说对于一个函数,我们也可以用向量的角度来看待它。

数学的魅力还包括变换的艺术,运算其实就是一种变换。解决问题其实就是通过不断的进行变换,从而到达问题的解空间。

完结撒花~

有问题可以留言哦~ 觉得有帮助也可以投喂一下博主,感谢~
文章链接:https://www.corrain.top/linear-algebra-7/
版权声明:本博客所有文章除特别声明外,均采用 CC BY-NC-SA 4.0 许可协议。转载请注明文章地址及作者
暂无评论

发送评论 编辑评论


				
|´・ω・)ノ
ヾ(≧∇≦*)ゝ
(☆ω☆)
(╯‵□′)╯︵┴─┴
 ̄﹃ ̄
(/ω\)
∠( ᐛ 」∠)_
(๑•̀ㅁ•́ฅ)
→_→
୧(๑•̀⌄•́๑)૭
٩(ˊᗜˋ*)و
(ノ°ο°)ノ
(´இ皿இ`)
⌇●﹏●⌇
(ฅ´ω`ฅ)
(╯°A°)╯︵○○○
φ( ̄∇ ̄o)
ヾ(´・ ・`。)ノ"
( ง ᵒ̌皿ᵒ̌)ง⁼³₌₃
(ó﹏ò。)
Σ(っ °Д °;)っ
( ,,´・ω・)ノ"(´っω・`。)
╮(╯▽╰)╭
o(*////▽////*)q
>﹏<
( ๑´•ω•) "(ㆆᴗㆆ)
( ゜- ゜)つロ
_(:з」∠)_
(⌒▽⌒)
( ̄▽ ̄)
(=・ω・=)
(*°▽°*)八(*°▽°*)♪
✿ヽ(°▽°)ノ✿
(¦3【▓▓】
눈_눈
(ಡωಡ)
_(≧∇≦」∠)_
━━━∑(゚□゚*川━
(`・ω・´)
( ̄3 ̄)
✧(≖ ◡ ≖✿)
(・∀・)
(〜 ̄△ ̄)〜
→_→
(°∀°)ノ
╮( ̄▽ ̄)╭
( ´_ゝ`)
←_←
(;¬_¬)
(゚Д゚≡゚д゚)!?
( ´・・)ノ(._.`)
Σ(゚д゚;)
Σ(  ̄□ ̄||)<
(´;ω;`)
(/TДT)/
(^・ω・^)
(。・ω・。)
(● ̄(エ) ̄●)
ε=ε=(ノ≧∇≦)ノ
(´・_・`)
(-_-#)
( ̄へ ̄)
( ̄ε(# ̄) Σ
(╯°口°)╯(┴—┴
ヽ(`Д´)ノ
("▔□▔)/
(º﹃º )
(๑>؂<๑)
。゚(゚´Д`)゚。
(∂ω∂)
(┯_┯)
(・ω< )★
( ๑ˊ•̥▵•)੭₎₎
¥ㄟ(´・ᴗ・`)ノ¥
Σ_(꒪ཀ꒪」∠)_
٩(๛ ˘ ³˘)۶❤
(๑‾᷅^‾᷅๑)
😂
😀
😅
😊
🙂
🙃
😌
😍
😘
😜
😝
😏
😒
🙄
😳
😡
😔
😫
😱
😭
💩
👻
🙌
🖕
👍
👫
👬
👭
🌚
🌝
🙈
💊
😶
🙏
🍦
🍉
😣
Source: github.com/k4yt3x/flowerhd
颜文字
Emoji
小恐龙
花!
小黄脸
热词系列一
tv_小电视
上一篇
下一篇