关于矩阵、行列式等，我们已经知道其含义了。那么，有一个问题，什么是向量？对于一个二维的向量，是一个平面中的一个箭头吗？或者说是一对实数，被可视化为了一个箭头？或者是这两个都是一个更深层次的表现形式？通过前面的学习，我们知道一个向量是依附于一个抽象的坐标系存在的，同样的向量，在不同的坐标系中是不同的。向量就是局限于几个数字吗？并不是，向量也很多种表现形式。

函数也有加法和数乘运算，这和向量的加法数乘运算几乎相同。那么我们是不是也可以把函数看成一个向量呢？当然是可以的。将函数可以看作是一个向量，我们可以对函数施加线性变化，例如$L(\frac{1}{9}x^3-x)=\frac{1}{3}x^2-1$，L线性变换将一个函数转换成了另一个函数（对应着前面的将一个向量转换成了另一个向量）。根据微积分知识，我们可以知道，这里的变换是微分运算，所以微分运算就是一种变换（就类似于矩阵乘法、点乘、叉乘等都是一个变换）。那么对于函数来说，怎么判断这个变换是否是线性呢？这就涉及到线性最本质的含义，即加法和数乘封闭。

1. Additivity: $L(\vec{v}+\vec{w})=L(\vec{v})+L(\vec{w})$
2. Scaling: $L(c\vec{v})=cL(\vec{v})$

根据这个，显然，微分运算是线性的。接下来，我们考虑一个空间，这个空间是所有的多项式的集合。我们先为这个空间选择一个基向量，也就是基函数。显然，可以是：1, x, x², x³, ......这些基函数的作用就类似于平面直角坐标系里的$\vec{i}$和$\vec{j}$，可以通过加法和数乘运算得到所有的多项式，并且这些基函数都是线性无关的。我们可以发现，这个空间的基函数的个数是无穷多个，因此这是一个无穷维的空间，我们可以用向量表示多项式：
$$
a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots a_1 x+a_0=\left[\begin{array}{c}
a_0 \\
a_1 \\
\vdots \\
a_{n-1} \\
a_n \\
0 \\
\vdots
\end{array}\right]
$$
而微分对应的线性变换矩阵为：
$$
\frac{d}{d x}\left(1 x^3+5 x^2+4 x+5\right)=3 x^2+10 x+4
$$

$$
\left[\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 0 & 0 & \cdots \\
0 & 0 & 2 & 0 & \cdots \\
0 & 0 & 0 & 3 & \cdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
5 \\
4 \\
5 \\
1 \\
\vdots
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
1 \cdot 4 \\
2 \cdot 5 \\
3 \cdot 1 \\
0 \\
\vdots
\end{array}\right]
$$

而这个矩阵的每一列就是每个基函数进行微分运算得到的向量。从这里可以看出，微分运算不仅仅可以用于函数，还可以延伸到矩阵。向量中的点积、特征向量也可以用于函数中的内积和特征函数。

回到最开始的问题，我们现在知道了数学中有许多vertor-ish的东西，比如箭头、一串数字、函数，向量中的理论包括点积特征值等，也可以在这种东西上得以体现。这些vertor-ish的集合被称为向量空间(Vector space)。向量有这么多形式，因此，很难给向量一个准确的定义。这是，我们可以考虑定义一些规则，只要遵守这些规则，就是向量。这些规则称为公理(axiom)。下面列出了向量空间需满足的公理：

1. $\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})=(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}$
2. $\vec{v}+\vec{w}=\vec{w}+\vec{v}$
3. 对于所有的$\vec{v}$，满足$0+\vec{v}=\vec{v}$
4. 对于每一个$\vec{v}$，存在一个$-\vec{v}$，使得$\vec{v}+(-\vec{v})=0$
5. $a(b\vec{v})=(ab)\vec{v}$
6. $1\vec{v}=\vec{v}$
7. $a(\vec{v}+\vec{w})=a\vec{v}+a\vec{w}$
8. $(a+b)\vec{v}=a\vec{v}+b\vec{v}$

最后来解答下这个问题：我们并不关心向量的形式是什么样的，可以是任何形式，只要遵守上述规则即可。而这也是其抽象性的体现，这也是标题中为啥要带有抽象的原因。Abstractness is the price of generality.

如果你问数学家向量是什么，那么数学家的答案会是：

The mathematician's answer is to just ignore the question.

结语

至此，线性代数部分就结束了，在看到3Blue1Brown老师视频结尾的时候，我感受到了数学的魅力。数学是一门抽象的艺术，很多东西是没有什么定义的，因此也就造就了许多理论的相通性，许多东西都是另一个东西的另一种形式表达。就好比说对于一个函数，我们也可以用向量的角度来看待它。

数学的魅力还包括变换的艺术，运算其实就是一种变换。解决问题其实就是通过不断的进行变换，从而到达问题的解空间。

完结撒花~