线性代数的本质(4)——克莱姆法则
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克莱姆法则(Cramer's rule)是求解线性方程组的一种方法。实际上,我们有着更好的方法求解方程组,但为啥还要学习这个呢?这是因为学习这个可以帮助我们更好的理解前面的内容。

根据前面的内容,我们知道行列式表示了区域面积(或体积)的变化量,这不仅仅是对于基向量围成的区域成立,对于任何两个向量组成的区域都是一样的。因此,考虑二维情况,假如线性方程组中 的系数矩阵A为[$\vec{i_{new}}$ $\vec{j_{new}}$],A是已知的,我们需要求$\vec{x}$。

考虑在变换前,$\vec{x}$与$\vec{i}$围成的区域面积,显而易见等于其纵坐标y。变换后,$\vec{x}$变为了$\vec{b}$,围成的区域变成了$\vec{b}$与$\vec{i_{new}}$围成的面积,变化倍数为Det(A),所以变化后的面积为$Det(A)\times y$。再换个角度考虑这个问题,把线性变换对应的矩阵变成$\begin{bmatrix} \vec{i_{new}} & \vec{b}\end{bmatrix}$,将$\vec{b}$作为基向量, 考虑$\vec{b}$与$\vec{i_{new}}$围成的面积,根据行列式的含义,显然等于这个矩阵的行列式$Det \left (\begin{bmatrix} \vec{i_{new}} & \vec{b}\end{bmatrix} \right)$。这两种方法计算出的面积是相等的,所以可以得到:
$$
Det(A)\times y=Det \left (\begin{bmatrix} \vec{i_{new}} & \vec{b}\end{bmatrix} \right)
$$

$$
y=\frac{Det \left (\begin{bmatrix} \vec{i_{new}} & \vec{b}\end{bmatrix} \right)}{Det(A)}
$$

我们可以发现,这就是克莱姆法则。因此,对矩阵和行列式充分理解后,这个法则就很容易得到了。

在上面的介绍中,其中关于$\vec{x}$与$\vec{i}$围成的区域面积,在平面直角坐标系,我们很容易得到,其就是y。如果更严格的写,应该也写成行列式形式,即$Det \left (\begin{bmatrix} \vec{i} & \vec{x}\end{bmatrix} \right)=Det\left (\begin{bmatrix} 1 & x \\ 0 & y\end{bmatrix} \right)$,这样就构成了完整的克莱姆法则。

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